Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Вычтем из него число 
делящееся на 37. Получим, что число 
делится на 37, чего быть не может. Остальные случаи равенства цифр рассматриваются аналогично.Сколькими способами можно покрасить буквы слова БАРАБАН в синий, красный и зеленый цвета так, чтобы, во-первых, одинаковые буквы были разного цвета, а, во-вторых, буквы, стоящие рядом тоже были бы разного цвета.
способа.
даёт остатки 7 и 1, значит, при 
решений нет. Перебирая 
и 
получаем один ответ.
На стороне AC правильного треугольника ABC отмечена точка K, такая что AK : KB = 1 : 2. На стороне BC отметили точку L, а на стороне AC — точку M, так что сумма длин KL + LM + MB минимальна. Найдите отношение CM : MA.
и 
Затем отразим точку B относительно 
и получим 
и 
лежат на одной прямой. По теореме Фалеса (или по теореме о средней линии треугольника) 
поэтому 
Точки B, C и D лежат на окружности с центром в точке A. Луч AC вторично пересекает описанную около треугольника ABD окружность в точке E, причем точка C оказалась внутри этой окружности. Докажите, что DC — биссектриса угла EDB.
Квадратные трехчлены f(x) и g(x) имеют одинаковые старшие коэффициенты, а их графики касаются графика квадратного трехчлена h(x). Докажите, что абсцисса точки пересечения графиков f(x) и g(x) лежит точно между абсциссами упомянутых точек касания.
и 
по одному корню. Старшие коэффициенты у них при этом одинаковы, поэтому их можно представить как 
и 
очевидно, имеет ту же абсциссу, что и точка пересечения графиков 
и 
и 
равны по абсолютной величине. Равенства быть не может, так как иначе 
и 
совпадают и 
- это один и тот же трёхчлен. Значит, 
откуда 
что и требовалось.
в правую нижнюю?
Тогда сумма первых шести членов — это 
а сумма следующих четырёх равна 
Приравнивая эти величины, получаем 
откуда 
Кроме того, 
и 
Следовательно, треугольники 
и 
равны, откуда получаем требуемое равенство углов.
где d — делитель 1000. Для каждого числа d таким образом существует единственное число x и 
пара 
(так как y может принимать значения от 1 до 
а z после этого определён однозначно). Таким образом, искомое количество решений — это сумма всех делителей 1000 минус их количество, 
неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для 9 чисел: одного числа x, трёх чисел y и пяти чисел z. Получим 
практически эквивалентно задаче и требует доказательства.
в порядке возрастания. Многочлен нечётной степени принимает все вещественные значения, включая свои корни, то есть существуют такие числа 
что 
Числа 
являются корнями многочлена 
значит, их хотя бы 7.
принималось многочленом 
ровно один раз.
оно, очевидно, положительно. Тогда многочлен 
удовлетворяет условию задачи. Действительно, при 
этот многочлен принимает только значения, не превосходящие единицы. При 
многочлен монотонно возрастает, а значит, принимает каждое значение ровно один раз, в том числе и все 
Сколькими способами можно раскрасить клетки таблицы
в пять цветов так, чтобы в каждом кресте из пяти клеток и любой фигуре, которая может быть его частью, все цвета были различны?
Раскраски, отличающиеся поворотим или симметрией, считать различными.
способами. Обозначим получившиеся цвета 
(обе стороны больше 3). Тогда все клетки, соседние с его неугловыми клетками, восстанавливаются однозначно по условию.
раскрашены все неугловые клетки и хотя бы один из углов, цвета остальных клеток восстанавливаются однозначно. Таким образом, можно однозначно восстановить цвета клеток, соседних с угловой клеткой прямоугольника 
Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке X. Прямая AX пересекает окружность S1 в точке A, а окружность S2 — в точке C. Прямая BX пересекает окружность S1 в точке B, а окружность S2 — в точке D. Окружность S3 касается прямой BD в точке B и пересекает луч XA в точках A и P. Докажите, что точки P, B, C и D лежат на одной окружности.
равна, с одной стороны, 
а с другой — 
откуда 
Градусные меры дуг XA (окружности 
и XC (окружности 
совпадают, так как равны удвоенному углу между общей касательной и прямой XA, содержащей обе хорды XA и XC. Отсюда 
равно отношению радиусов окружностей 
и 
Тому же самому отношению равно и 
откуда 
получаем 
Из этого условия как раз и следует, что точки P, B, C и D лежат на одной окружности.
делится на 5, а значит то же самое выполняется и для суммы любых нечётных степеней.
делится на 
при нечётном m. По-другом можно это доказать так: 
значит, 
если 
нечётно.
делится на 9. Число 
и даёт при делении на 9 остаток 8, а Значит 
даёт остаток 1. Дальше остатки зацикливаются и 
даёт остаток 8 при нечётном n и остаток 1 при чётном. Число 
при делении на 9 даёт остаток 1. Значит, 
даёт остаток 1 при делении на 9 . Таким образом, сумма 
делится на 
делится ещё и на 11. По малой теореме Ферма любое число, взаимно простое 
Значит, у чисел 
и 
такие же остатки при делении 
Кроме того, 
а значит, есть ещё и пятый множитель.
а сумма следующих пяти равна 
Приравнивая эти величины, получаем 
то есть 
откуда 
где 
делитель 400. Для каждого числа d таким образом существует единственное число x и 
Так как 
неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для 16 чисел: двух чисел x, пяти чисел y и девяти чисел z. Получим 
Аналогичные неравенства применим и к остальным подкоренным выражениям. Таким образом,
