Числа x, y и z положительны, а их произведение равно 1. Докажите неравенство:
Решение.
Применим к числу неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для 16 чисел: двух чисел x, пяти чисел y и девяти чисел z. Получим Аналогичные неравенства применим и к остальным подкоренным выражениям. Таким образом,
Снова применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, на этот раз для трёх корней 32 степени, получаем
Критерии проверки:
Частичные продвижения не оцениваются.
Неравенства о средних можно использовать без доказательства.
Утверждение о том, что минимум суммы двух или трёх чисел при фиксированном произведении считать известным. эквивалентно задаче и требует доказательства.
Утверждение о том, что минимум суммы корней достигается когда практически эквивалентно задаче и требует доказательства.
За арифметические ошибки, несущественно влияющие на ход решения — снимать 1 балл. (Чаще всего в этой задаче арифметическая ошибка рушит всё доказательство, нужно применять этот критерий очень осторожно).
неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для 16 чисел: двух чисел x, пяти чисел y и девяти чисел z. Получим 
Аналогичные неравенства применим и к остальным подкоренным выражениям. Таким образом,
практически эквивалентно задаче и требует доказательства.