сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

P(x) — мно­го­член пятой сте­пе­ни, име­ю­щий семь раз­лич­ных ве­ще­ствен­ных кор­ней. Какое наи­мень­шее число ве­ще­ствен­ных кор­ней может иметь мно­го­член P(P(x))?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим корни мно­го­чле­на за x_1, \ldots, x_5 в по­ряд­ке воз­рас­та­ния. Мно­го­член нечётной сте­пе­ни при­ни­ма­ет все ве­ще­ствен­ные зна­че­ния, вклю­чая свои корни, то есть су­ще­ству­ют такие числа y_i, что P левая круг­лая скоб­ка y_i пра­вая круг­лая скоб­ка =x_i . Числа y_i яв­ля­ют­ся кор­ня­ми мно­го­чле­на P левая круг­лая скоб­ка P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка зна­чит, их хотя бы 5.

Те­перь по­стро­им при­мер мно­го­чле­на, у ко­то­ро­го их ровно пять. Для этого тре­бу­ет­ся, чтобы каж­дое зна­че­ние x_i при­ни­ма­лось мно­го­чле­ном P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка ровно один раз. Рас­смот­рим любой мно­го­член

Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус x_2 пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка x минус x_5 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

все корни ко­то­ро­го боль­ше 1. Пусть M  — его наи­боль­шее зна­че­ние на про­ме­жут­ке от x_1 до x_5, оно, оче­вид­но, по­ло­жи­тель­но. Тогда мно­го­член P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: M конец дроби удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Дей­стви­тель­но, при x мень­ше или равно x_5 этот мно­го­член при­ни­ма­ет толь­ко зна­че­ния, не пре­вос­хо­дя­щие еди­ни­цы. При x боль­ше x_5 мно­го­член мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, а зна­чит, при­ни­ма­ет каж­дое зна­че­ние ровно один раз, в том числе и все x_i .

 

Ответ: 5.

 

За­ме­ча­ние. При­мер может стро­ить­ся и как-ни­будь по-дру­го­му, но, в любом слу­чае, долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие, что числа x_i лежат вне про­ме­жут­ка между наи­боль­шим и наи­мень­шим Зна­че­ни­ем мно­го­чле­на на про­ме­жут­ке от x_1 до x5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Толь­ко ответ  — 0 бал­лов.

Оцен­ка (до­ка­за­тель­ство того, что кор­ней не мень­ше 5 или 7)  — 1 балл.

Пра­виль­ное по­стро­е­ние при­ме­ра  — 2 балла (без до­ста­точ­но­го обос­но­ва­ния  — 1 балл).

Не тре­бо­вать по­дроб­но­го объ­яс­не­ния того, по­че­му если корни мно­го­чле­на не лежат на от­рез­ке между ука­зан­ны­ми в ре­ше­нии зна­че­ни­я­ми, то усло­вие за­да­чи вы­пол­ня­ет­ся.


Аналоги к заданию № 517: 525 Все