За­пи­шем в каж­дую клет­ку таб­ли­щы ко­ли­че­ство спо­со­бов туда до­брать­ся. Тогда в левом верх­нем углу будет сто­ять число 1, а в каж­дой из осталь­ных кле­ток будет сумма трёх со­сед­них чисел свер­ху и числа слева.

В каж­дую клет­ку пер­вой стро­ки можно по­пасть толь­ко слева, по­это­му пер­вая стро­ка за­пол­не­на еди­ни­ца­ми. Вто­рая стро­ка на­чи­на­ет­ся с двой­ки, а каж­дое сле­ду­ю­щее число, кроме по­след­не­го, на три боль­ше преды­ду­ще­го. По­след­нее число во втрой стро­ке боль­ше преды­ду­ще­го толь­ко на два, по­то­му что в эту клет­ку нель­зя по­пасть слева свер­ху.

Числа в тре­тьей строч­ке стро­ят­ся по сле­ду­ю­ше­му за­ко­ну:

и так далее. По­след­нее число равно

В этой сумме 2 и 598 учи­ты­ва­ют­ся два раза, а все осталь­ные числа по три раза. Зна­чит, ис­ко­мое число со­став­ля­ет

Аль­тер­на­тив­ный спо­со­бо ре­ше­ния за­клю­ча­ет­ся в том, чтобы за­ме­тить, что хро­мой ко­роль де­ла­ет всего два хода вниз. После этого можно по­счи­тать, сколь­ко спо­со­бо вы­брать мо­мент, в ко­то­рый де­ла­ют­ся эти ходы это ко­ли­че­ство спо­со­бов за­ви­сит от того, какие имен­но из воз­мож­ных ходов де­ла­ют­ся. Это ре­ше­ние тре­бу­ет боль­шо­го раз­бо­ра слу­ча­ев.

Ответ: 179 697.