Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Дан треугольник 
На стороне AC выбирают точку Q таким образом, чтобы длина отрезка MK, где M и K — основания перпендикуляров, опущенных из точки Q на стороны AB и AC соответственно, оказалась минимальной. При этом 
Найдите площадь треугольника ABC.
Четырехугольник MBKQ вписан в окружность, и BQ ее диаметр. По формуле для радиуса описанной около треугольника MBK окружности имеем:
Найдем площадь треугольника ABQ, читая пока h известной величиной. 
то из (1) следует, что 
Найдем MK из треугольника MQK (в нем 
по теореме косинусов:
Поэтому далее будем рассматривать такие решения (a, b) уравнения (1), для которых 
(2)
(3)
такой, что
и 
(иначе правая часть (1) была бы отрицательной, так как, по условию задачи и в силу (2), 
Из (4) следует, что неотрицательное 
которая также удовлетворяет (1), (2), (3) (если, конечно, 
так как, согласно (5), 
так что, если 
то (3) не будет выполнено). Будем эту новую пару обозначать как (a1, b1). Затем по тем же формулам можно из пары (a1, b1) получить еще решение (a2, b2) и т. д. Символически полученный результат представим следующим образом: 
при этом 
удовлетворяющего (1), (2), (3), мы можем получить лишь конечное число новых решений уравнения (1), так как, согласно доказанному утверждению, 
Значит, на каком-то шаге обязательно получится 
(тогда, как было показано выше, 
Чтобы на n-м шаге получить 0, на предыдущем шаге должно было быть 
(подставив 
в (1), найдем 
Таким образом, окончание цепочки (6) выглядит так:
— и это тоже решение уравнения (1)! Можно продолжить, получая новые решения: 
и так далее. Значит, всего решений у уравнения (1) бесконечно много, так как цепочку (8) можно продолжить влево сколь угодно далеко. 
— какое-то (удовлетворяющее (3)) решение уравнения (1). Было показано, что с помощью формул (7) из решения 
за отправную точку, мы с помощью обратных преобразований (7′) вернемся к 
мы с помощью (7′) получаем ее всю). 
и двинемся с помощью (7′) по цепочке (8) влево (у нас будет 
и т. д.).
служат те и только те пары чисел 
которые каждом 
вычисляются по формулам: 
здесь 
в целых числах.
Исходное уравнение в этом случае примет вид: 
(1)
то правая часть (1) кратна трем, а левая — нет. Значит, 
Если же предположить, что 
то, переписав (1) в виде 
вновь придем к противоречию: кратное трем число 
не может быть никакой степенью двойки. Поэтому 
и 
Положим:
Действительно, из (3) следует, что 
Если 
(иначе, согласно (3), дробное число равнялось бы целому). Число 2 входит в канонические разложения на простые множители левой и правой частей (3) в одной и той же степени, поэтому 
(4)
(5)
Тогда 
С учетом (2) и (4) находим решение исходного уравнения: 
Тогда левая часть (5) кратна 4. Если t нечетно, то правая часть (5) на 4 не делится. Значит, 
Из (5) следует, что 
Значит, числа 
и 
являются степенями двойки. Заметим также, что на числовой оси эти числа находятся друг от друга на расстоянии 2. Такое возможно, только если 
Отсюда 
и тогда 
Подставляя найденные значения в (2) и (4), получаем решение 
то припишем 12 или 21; 
то припишем 11; 
то припишем 22; 
Тогда 
Вычтем из него число 
делящееся на 37. Получим, что число 
делится на 37, чего быть не может. Остальные случаи равенства цифр рассматриваются аналогично.Сколькими способами можно покрасить буквы слова КОЛОБОК в синий, красный и зеленый цвета так, чтобы, во-первых, одинаковые буквы были разного цвета, а, во-вторых, буквы, стоящие рядом тоже были бы разного цвета.
способов.
решений нет. Перебирая y = 2 и y = 1, получим единственное решение x = 2, y = 1.В цеху работало несколько станков фирмы «Левша». После того как 5 станков были заменены на 5 станков фирмы «Инноватика» общая производительность всех станков цеха выросла на 25%. Если бы изначально 40% станков фирмы «Левша» заменили на такое же количество станков фирмы «Инноватика», то общая производительность выросла бы в 1,5 раза. Найдите количество станков в цеху, если станки одной и той же фирмы имеют одинаковую производительность.
Поскольку одно из чисел n2 или n2 + 1 четное, то число n6 − n2 также является четным. Осталось показать, что это число также делится на 5. Рассмотрим все возможные случаи остатков при делении числа n на 5:
также делится на 5;
Решите уравнение f(x) = 0.
:
:
:
в данное равенство и получим, что b = 0.Окружности O1 и O2 пересекаются в точках А и В. Прямая, проходящая через А, параллельна их линии центров и пересекает O1 и O2 вторично в точках С и D соответственно. Окружность O3 построена на CD как на диаметре и пересекает O1 и O2 в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямые СР, DQ и АВ пересекаются в одной точке.
для дробей в левой части неравенства. 
что и доказывает исходное неравенство.Точки A, B и C лежат на окружности с центром в точке O. Луч OB вторично пересекает описанную около треугольника AOC окружность в точке D, причем точка B оказалась внутри этой окружности. Докажите, что AB — биссектриса угла DAC.
Квадратные трехчлены g(x) и h(x) имеют одинаковые старшие коэффициенты, а их графики касаются графика квадратного трехчлена f(x). Докажите, что абсцисса точки пересечения графиков g(x) и h(x) лежит точно между абсциссами упомянутых точек касания.
что и требовалось доказать.
в правую нижнюю?
удовлетворяют равенству 
Непосредственно проверкой убеждаемся, что
Тогда 
По условию задачи 2hc = ka, 2hb = kb, 2ha = kc, где — коэффициент подобия. Следовательно,
тогда
В классе 25 учащихся. Для них были куплены билеты на один ряд в кинотеатре, состоящий из 25 мест, пронумерованных от 1 до 25. Несмотря на то, что каждый школьник получил индивидуальный билет, они сели на места своего ряда случайным образом. Какова вероятность того, что у каждого школьника для номера места N, на которое он сел, и номера места M, указанного в билете, выполнено неравенство M ≥ N − 3?
для всех k от 1 до 25. Число in может принимать 4 значения: n, n − 1, n − 2, n − 3. Число in − 1 может принимать 5 значений: n, n − 1, n − 2, n − 3, n − 4, кроме того значения, которое уже занято числом in, то есть тоже 4 значения.