Окружности O1 и O2 пересекаются в точках А и В. Прямая, проходящая через А, параллельна их линии центров и пересекает O1 и O2 вторично в точках С и D соответственно. Окружность O3 построена на CD как на диаметре и пересекает O1 и O2 в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямые СР, DQ и АВ пересекаются в одной точке.
Заметим, что O1O2 перпендикулярно AB. Так как CD параллельно O1O2, то AB перпендикулярно CD. Точки P, B и D лежат на одной прямой. Действительно, CB и CD — диаметры окружностей O1 и O3, следовательно, CP перпендикулярно PB и CP перпендикулярно PD, что и доказывает, что точки P, B и D лежат на одной прямой. Аналогично точки C, B и Q также лежат на одной прямой и DQ перпендикулярно CB.
Итак, прямые CP, DQ, AB содержат высоты треугольника BCD и, следовательно, пересекаются в одной точке.