РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 503 Добавить в вариант

Даны два подобных треугольника, стороны первого из которых соответственно в два раза больше высот второго. Найдите наибольшее возможное значение коэффициента подобия первого треугольника ко второму.

Спрятать решение

Решение.

Пусть a, b и c  — стороны второго треугольника, а h_a, h_b, h_c  — его соответствующие высоты. Тогда 2S₂ = ah_a = bh_b = ch_c. Не умаляя общности $a больше или равно b больше или равно c.$ Тогда $h_a меньше или равно h_b меньше или равно h_c.$ По условию задачи 2h_c = ka, 2h_b = kb, 2h_a = kc, где   — коэффициент подобия. Следовательно,

$kca=kb в квадрате =kac равносильно b в квадрате =ac.$

Пусть $бета = \angle левая круглая скобка a,c правая круглая скобка ,$ тогда

$c синус левая круглая скобка бета правая круглая скобка =h_a= дробь: числитель: kc, знаменатель: 2 конец дроби равносильно k=2 синус левая круглая скобка бета правая круглая скобка$

По теореме косинусов

$b в квадрате =a в квадрате плюс c в квадрате минус 2ac косинус левая круглая скобка бета правая круглая скобка \undersetb в квадрате =ac\mathop равносильно ac левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус левая круглая скобка бета правая круглая скобка правая круглая скобка =a в квадрате плюс c в квадрате больше или равно 2ac.$

Следовательно,

$косинус левая круглая скобка бета правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно бета меньше или равно 60 градусов равносильно k=2 синус левая круглая скобка бета правая круглая скобка меньше или равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Очевидно, что если данные треугольники будут равносторонние, то $k= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: $k= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	14
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. Ответ верный. ИЛИ Решение задачи, содержит верную общую схему решения, но в результате описки или арифметической ошибки получен неверный ответ.	±	10
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Дана верная оценка сверху для искомого коэффициента подобия. Не показано, что данная оценка достигается.	+/2	7
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. ИЛИ Верный ответ получен при рассмотрении равносторонних треугольников. Обоснование, что найденное значение является наибольшим возможным отсутствует или имеет значительные пробелы.	∓	3
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Экстремальные задачи, Методы геометрии. Подобие, Методы геометрии. Теорема косинусов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь