РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 508 Добавить в вариант

На стороне AC правильного треугольника ABC отмечена точка K, такая что AK : KB  =  1 : 2. На стороне BC отметили точку L, а на стороне AC  — точку M, так что сумма длин KL + LM + MB минимальна. Найдите отношение CM : MA.

Спрятать решение

Решение.

Отразим точки A и M относительно BC, получим точки $A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и $M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ Затем отразим точку B относительно $A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C$ и получим точку $B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ Тогда

$K L плюс L M плюс M B=K L плюс L M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка плюс M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$

а минимальное значение этой суммы достигается когда точки $K, L, M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и $B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ лежат на одной прямой. По теореме Фалеса (или по теореме о средней линии треугольника) $A K=2 M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка C,$ поэтому

$C M: M A=C M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка : M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка A= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби A K: левая круглая скобка 3 A K минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби A K правая круглая скобка =1: 5.$

Ответ: $1:5.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Только ответ  — 0 баллов.

Аналоги к заданию № 480: 508 Все

Открытая олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Экстремальные задачи, Методы геометрии. Теорема Фалеса

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь