Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
в порядке возрастания. Многочлен нечётной степени принимает все вещественные значения, включая свои корни, то есть существуют такие числа 
что 
Числа 
являются корнями многочлена 
значит, их хотя бы 5.
принималось многочленом 
ровно один раз. Рассмотрим любой многочлен 
до 
оно, очевидно, положительно. Тогда многочлен 
удовлетворяет условию задачи. Действительно, при 
этот многочлен принимает только значения, не превосходящие единицы. При 
многочлен монотонно возрастает, а значит, принимает каждое значение ровно один раз, в том числе и все 
Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке M. Прямая MC пересекает окружность S1 в точке A, а окружность S2 — в точке C. Прямая MD пересекает окружность S1 в точке B, а окружность S2 — в точке D. Окружность S3 касается прямой AC в точке C и пересекает луч MD в точках K и D. Докажите, что точки K, B, A и C лежат на одной окружности.
равна, с одной стороны, МC 
а с другой — 
откуда 
) и 
(окружности 
совпадают, так как равны удвоенному углу между обшей касательной и прямой MA, содержащей обе хорды MA и MC. Отсюда 
равно отношению радиусов окружностей 
Тому же самому отношению равно и 
откуда 
получаем 
Из этого условия как раз и следует, что точки K, B, A и C лежат на одной окружности.
делится на 5, а Значит то же самое выполняется и для суммы любых нечётных степеней. Аналогично 
поэтому любая сумма одинаковых нечётных степеней чисел 5 и 11 делится на 16.
делится на 
при нечётном m. По-другому можно это доказать так: 
значит, 
если 
нечётно. Отсюда 
делится на 
то есть мы получили уже пять множителей.
делится ещё и на 19. По малой теореме Ферма любое число, взаимно простое с 19, в степени кратной 18 даёт при делении на 19 остаток 1. Значит, у чисел 
и 
такие же остатки при делении 
Кроме того, 
делится на 17, а значит то же самое выполняется и для суммы любых нечётных степеней. Это верно, так как 
значит, 
так как 
делится на 9. Число 17 в нечётной степени даёт при делении на 9 остаток 8, а в чётной — остаток 1. Число 
даёт остаток 1 при делении на 9, а значит и любая нечётная степень куба даёт такой же остаток. Таким образом, сумма 
делится на 9.
Её дискриминант должен быть равен 0, то есть 
имеет ровно один корень — 0,5 балла.
и 
но неизвестно, в каком порядке. Всегда ли можно определить, где именно каждое из чисел?
и, кроме того, 
и 
а, во-вторых, 
и невозможно определить, где какое число. 
Обозначив 
Осталось убедиться, что при таком значении 
все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары 
или 
совпадают при квадрате синуса равном 
совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых чисел тоже, откуда тангенс угла равен его синусу или косинусу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, все эти числа меньше единицы, поэтому котангенса среди них нет.
Дана пирамида ABCD, в основании которой лежит правильный треугольник ABC. Сфера радиусом 10 с центром в точке D проходит через середины сторон AD, BD и CD и касается грани ABC. Найдите объём пирамиды.
Тогда ADH, BDH и CDH — равные прямоугольные треугольники, в которых катет DH в два раза меньше гипотенузы.
В правильном треугольнике 
это радиус описанной окружности, откуда 
На собрании присутствовали рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут (точно есть и те, и другие). Каждый сказал: «Я знаком хотя бы с 15 рыцарями на этом собрании» и «Я знаком хотя бы с 11 лжецами на этом собрании». Какое наименьшее количество людей могло собраться?
то есть хотя бы 13.
Тогда 
Куб 
состоит из 512 маленьких кубиков 
(назовём их ячейками). Ячейки называются соседними, если имеют общую грань. Таким образом, у каждой ячейки не более не более 6 соседних.
В каждой ячейке записано неотрицательное число. Сумма чисел в ячейке и во всех соседних не менее 35. Докажите, что сумма чисел во всех ячейках куба строго больше 2560.
и 
Найдите x100.
следующим образом: 
то есть 
Подставив это представление 
в рекуррентную формулу, мы получим 
Можно заметить, что разность двух соседних членов каждый раз увеличивается в три раза, что характерно для геометрической прогрессии со знаменателем 3. Значит, имеет смысл искать 
можно проверить, что такая любая такая последовательность удовлетворяет рекуррентной формуле. Подставляя начальные значения и решая систему уравнений, находим 
и 
откуда 
и 
делится на 23, а значит то же самое выполняется и для суммы любых нечётных степеней. Это верно, так как 
По-другому можно это доказать так: 
(mod 23), значит, 
так как 
даёт такой же остаток, как и 
то есть 8, а 
даёт остаток 1. Дальше остатки зацикливаются и 
даёт остаток 8 при нечётном n и остаток 1 при чётном. Число 43 даёт при делении на 9 
даёт такой же остаток, как и 
то есть 1. Значит, 
даёт остаток 1 при делении на 9. Таким образом, сумма 
делится на 9.
и 
но известно, в каком порядке. Всегда ли можно определить, где именно каждое из чисел?
и, кроме того, 
Тогда на доске находятся, во-первых, числа 
и 
в степень минус два (мы это можем делать, так как всё равно ищем положительные решения) и получим 
что, после замены 
решим уравнение
Осталось убедиться, что при таком значении 
все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары 
совпадают при квадрате косинуса равном 1; совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых чисел тоже, откуда синус угла равен его тангенсу или котангенсу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, что отсутствует на доске, так как 
аналогично для 
Дана пирамида ABCD, в основании которой лежит правильный треугольник ABC. Сфера радиусом 10 с центром в точке D пересекает стороны AD, BD и CD в отношении 2 : 1 (считая от вершины D) и касается грани ABC. Найдите объём пирамиды.
В правильном треугольнике ABC это радиус описанной окружности, откуда 
На собрании присутствовали рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут (точно есть и те, и другие). Каждый сказал: «Я знаком хотя бы с 14 рыцарями на этом собрании» и «Я знаком хотя бы с 10 лжецами на этом собрании». Какое наименьшее количество людей могло собраться?
то есть хотя 
Тогда рыцарь номер 15 знает 12 лжецов, рыцари 1 и 14 знают по 11 лжецов, остальные по 
В описанном пятиугольнике ABCDE даны длины сторон: AB = 11, BC = 9, CD = 10, DE = 14 и EA = 12. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Найдите отношение площадей треуголньиков CME и BME.
В некотором регионе 60% работающих — бюджетники, и их зарплата в среднем на 20% ниже средней зарплаты по этому региону. На сколько процентов должна повыситься зарплата бюджетников, чтобы сравняться со средней зарплатой всех работающих?
Чтобы зарплата бюджетников стала равной зарплате всех работающих в данном регионе, необходимо чтобы она выросла с 0,8s до 1,3s, то есть на 
Куб 
состоит из 343 маленьких кубиков (назовём их ячейками). Ячейки называются соседними, если имеют общую грань. Таким образом, у каждой ячейки не более не более 6 соседних.
В каждой ячейке записано неотрицательное число. Сумма чисел в ячейке и во всех соседних не менее 10. Докажите, что сумма чисел во всех ячейках куба строго больше 490.
Найдите x100.
откуда 
Можно заметить, что разность двух соседних членов каждый раз увеличивается в два раза, что характерно для геометрической прогрессии со знаменателем 2. Значит, имеет смысл искать 
—
и 
откуда 
и 
