сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

До­ка­жи­те, что число 33n + 173n + 313n при нечётном n рас­кла­ды­ва­ет­ся в про­из­ве­де­ние хотя бы че­ты­рех (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел, боль­ших еди­ни­цы.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Число 3 плюс 31=34 де­лит­ся на 17, а зна­чит то же самое вы­пол­ня­ет­ся и для суммы любых нечётных сте­пе­ней. Это верно, так как a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка m пра­вая круг­лая скоб­ка плюс b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка m пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся на a плюс b при нечётном m. По-дру­го­му можно это до­ка­зать так: 31 \equiv минус 3 левая круг­лая скоб­ка \bmod 17 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­чит, 31 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка так как 3 n нечётно.

Те­перь рас­смот­рим остат­ки по мо­ду­лю 9. Вы­ра­же­ние 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся на 9. Число 17 в нечётной сте­пе­ни даёт при де­ле­нии на 9 оста­ток 8, а в чётной  — оста­ток 1. Число 31 в кубе даёт оста­ток 1 при де­ле­нии на 9, а зна­чит и любая нечётная сте­пень куба даёт такой же оста­ток. Таким об­ра­зом, сумма 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 17 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 31 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся на 9.

Мы по­лу­чи­ли уже три мно­жи­те­ля: 3, 3 и 17. Кроме того

3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 17 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 31 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 3 умно­жить на 3 умно­жить на 17=153,

по­это­му есть хотя бы ещё один де­ли­тель.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

До­ка­за­но на­ли­чие трёх мно­жи­те­лей  — 1 балл.

До­ка­за­тель­ство на­ли­чия двух мно­жи­те­лей  — не оце­ни­ва­ет­ся.

Утвер­жде­ние о том, что сумма m-ых сте­пе­ней двух чисел при нечётном m де­лит­ся на сумму самих чисел при­ни­мать без до­ка­за­тель­ства.


Аналоги к заданию № 529: 537 Все