сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Гра­фик квад­рат­но­го трех­чле­на ax2 + bx + c с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том a ка­са­ет­ся гра­фи­ка его про­из­вод­ной. До­ка­жи­те, что c боль­ше или равно a.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ка­са­ние гра­фи­ков озна­ча­ет, что раз­ность мно­го­чле­на и про­из­вод­ной имеет един­ствен­ный ко­рень. Пусть трёхчлен равен a x в квад­ра­те плюс b x плюс c, тогда про­из­вод­ная  — это 2 a x плюс b.

Их раз­ность равна a x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка b минус 2 a пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс левая круг­лая скоб­ка c минус b пра­вая круг­лая скоб­ка . Её дис­кри­ми­нант дол­жен быть равен 0 , то есть

 левая круг­лая скоб­ка b минус 2 a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 a левая круг­лая скоб­ка c минус b пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но b в квад­ра­те =4 a c минус 4 a в квад­ра­те =4 a левая круг­лая скоб­ка c минус a пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но c боль­ше или равно a.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

До­ка­за­но, что P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус P в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка имеет ровно один ко­рень  — 0,5 балла.

Вы­пи­са­на фор­му­ла для дис­кри­ми­нан­та  — ещё 0,5 балла.