Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке X. Прямая AX пересекает окружность S1 в точке A, а окружность S2 — в точке C. Прямая BX пересекает окружность S1 в точке B, а окружность S2 — в точке D. Окружность S3 касается прямой BD в точке B и пересекает луч XA в точках A и P. Докажите, что точки P, B, C и D лежат на одной окружности.
Степень точки X относительно окружности 
равна, с одной стороны, 
а с другой — 
откуда 
Градусные меры дуг XA (окружности 
и XC (окружности 
совпадают, так как равны удвоенному углу между общей касательной и прямой XA, содержащей обе хорды XA и XC. Отсюда 
равно отношению радиусов окружностей 
и 
Тому же самому отношению равно и 
откуда 
Подставляя в это равенство ранее полученную формулу для 
получаем
откуда 
Из этого условия как раз и следует, что точки P, B, C и D лежат на одной окружности.