Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Дана пирамида ABCD, в основании которой лежит правильный треугольник ABC. Сфера радиусом 10 с центром в точке D пересекает стороны AD, BD и CD в отношении 2 : 1 (считая от вершины D) и касается грани ABC. Найдите объём пирамиды.
Решение.
Спрятать критерииПусть H — точка касания сферы и грани ABC. Тогда ADH, BDH и CDH — равные прямоугольные треугольники, в которых катет DH в полтора раза меньше гипотенузы. По теореме Пифагора 
В правильном треугольнике ABC это радиус описанной окружности, откуда
Соответственно,
Ответ: 
?
Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год