Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В описанном пятиугольнике ABCDE даны длины сторон: AB = 10, BC = 9, CD = 11, DE = 8 и EA = 12. Диагонали AC и BE пересекаются в точке M. Найдите отношение площадей треуголньиков AMD и BMD.
Решение.
Спрятать критерииОбозначим точку касания вписанной окружности и стороны AB за X. Тогда точка M лежит на отрезке DX. Это следует, например, из теоремы Брианшона (которая гласит, что главные диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке) для вырожденного шестиугольника 
Тогда
поскольку
Обозначим отрезки касания, прилегающие к вершине A за a, к вершине B — за b и т. д., а полупериметр пятиугольника за p. Тогда
Ответ: 4.
?
Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 годКлассификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности и многоугольник