РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 502 Добавить в вариант

Найти все значения a, при которых корни x₁, x₂, x₃ многочлена $x в кубе плюс 4x в квадрате плюс ax плюс a$ удовлетворяют равенству $левая круглая скобка x_1 плюс 2 правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка x_2 плюс 2 правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка x_3 плюс 2 правая круглая скобка в кубе =0.$

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену y = x + 2, тогда числа y₁ = x₁ + 2, y₂ = x₂ + 2, y₃ = x₃ + 2 являются корнями многочлена

$левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в кубе плюс 4 левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс a левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка плюс a=y в кубе минус 2y в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка y плюс 8 минус a.$

По теореме Виета: $система выражений y_1 плюс y_2 плюс y_3=2,y_1y_2 плюс y_1y_3 плюс y_2y_3=a минус 4, y_1y_2y_3=a минус 8. конец системы .$

Кроме того, должно выполняться равенство $y_1 в кубе плюс y_2 в кубе плюс y_3 в кубе =0.$ Непосредственно проверкой убеждаемся, что

$y_1 в кубе плюс y_2 в кубе плюс y_3 в кубе = левая круглая скобка y_1 плюс y_2 плюс y_3 правая круглая скобка в кубе минус 3 левая круглая скобка y_1y_2 плюс y_1y_3 плюс y_2y_3 правая круглая скобка левая круглая скобка y_1 плюс y_2 плюс y_3 правая круглая скобка плюс 3y_1y_2y_3,$ $y_1 в кубе плюс y_2 в кубе плюс y_3 в кубе = левая круглая скобка y_1 плюс y_2 плюс y_3 правая круглая скобка в кубе минус$
$минус 3 левая круглая скобка y_1y_2 плюс y_1y_3 плюс y_2y_3 правая круглая скобка левая круглая скобка y_1 плюс y_2 плюс y_3 правая круглая скобка плюс 3y_1y_2y_3,$

из которого получается:

$0= левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в кубе минус 3 левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка a минус 8 правая круглая скобка равносильно 0=8 минус 6a плюс 3a равносильно 0=8 минус 3a равносильно a= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$ $0= левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в кубе минус 3 левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка a минус 8 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 0=8 минус 6a плюс 3a равносильно 0=8 минус 3a равносильно a= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $a= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	14
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. ИЛИ Решение задачи, содержит верную общую схему решения, но в результате описки или арифметической ошибки получен неверный ответ.	±	10
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Составлено верное уравнение для нахождения искомого параметра a. При этом решение не завершено или при правильном ответе в нем отсутствуют важные обоснования. ИЛИ Верно найдено значение параметра a, но не показано, что это значение единственно.	+/2	7
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	3
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь