РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 423 Добавить в вариант

Найдите все неотрицательные целые числа a и b, удовлетворяющие равенству $a в квадрате плюс b в квадрате =841 левая круглая скобка ab плюс 1 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Пусть пара чисел (a, b) удовлетворяет уравнению задачи:

$a в квадрате плюс b в квадрате =841 умножить на левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка ,$ $k=29. \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

Предположим, что одно из чисел, например a, равно нулю. Тогда, очевидно, $b=k.$ Поэтому далее будем рассматривать такие решения (a, b) уравнения (1), для которых $a не равно 0,b не равно 0.$ (2) Более того, будем предполагать, что $a меньше или равно b.$ (3) Итак, пусть пара (a₀, b₀) удовлетворяет (1), а также усл. (2), (3). Из (1) находим, что

$b_0 в квадрате минус k в квадрате a_0b_0 плюс a_0 в квадрате минус k в квадрате =0.$

Это равенство можно трактовать как квадратное уравнение относительно неизвестной b₀. По теореме Виета, помимо, собственно, b₀, это уравнение еще имеет корень $b_0'$ такой, что

$b_0 плюс b_0'=k в квадрате a_0, \qquad левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$

$b_0b_0'=a_0 в квадрате минус k в квадрате . \qquad левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$

Утверждение. Этот новый корень $b_0'$ удовлетворяет условиям: $b_0'\geqslant0,$ $b_0' принадлежит Z$ и $b_0' меньше a_0.$

Доказательство. Числа a₀ и $b_0'$ удовлетворяют (1), поэтому $b_0'\geqslant0$ (иначе правая часть (1) была бы отрицательной, так как, по условию задачи и в силу (2), $a_0 больше 0 правая круглая скобка .$ Из (4) следует, что неотрицательное $b_0'$ является целым, а из (5)  — что $b_0'= дробь: числитель: a_0 в квадрате минус k в квадрате , знаменатель: b_0 конец дроби .$

Установим, что $b_0' меньше a_0.$ Действительно,

$b_0' меньше a_0 равносильно дробь: числитель: a_0 в квадрате минус k в квадрате , знаменатель: b_0 конец дроби меньше a_0 равносильно a_0 в квадрате минус k в квадрате меньше a_0b_0\Leftarrow a_0 в квадрате меньше или равно a_0b_0.$

Последнее верно в силу (3).

Таким образом, пара (a₀, b₀), удовлетворяющая уравнению (1) и ограничениям (2), (3), порождает новую пару (см. (4)) вида $левая круглая скобка b_0',a_0 правая круглая скобка = левая круглая скобка k в квадрате a_0 минус b_0,a_0 правая круглая скобка ,$ которая также удовлетворяет (1), (2), (3) (если, конечно, $a_0 не равно k правая круглая скобка ;$ так как, согласно (5), $b_0'$ еще может быть найден по формуле $b_0'= дробь: числитель: a_0 в квадрате минус k в квадрате , знаменатель: b_0 конец дроби ,$ так что, если $a_0=k,$ то (3) не будет выполнено). Будем эту новую пару обозначать как (a₁, b₁). Затем по тем же формулам можно из пары (a₁, b₁) получить еще решение (a₂, b₂) и т. д. Символически полученный результат представим следующим образом:

$левая круглая скобка a_0,b_0 правая круглая скобка arrow левая круглая скобка a_1,b_1 правая круглая скобка = левая круглая скобка k в квадрате a_0 минус b_0,a_0 правая круглая скобка arrow левая круглая скобка a_2,b_2 правая круглая скобка arrow. \qquad левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$

Здесь $a_m=k в квадрате a_m минус 1 минус b_m минус 1,$ $b_m=a_m минус 1,$ при этом $a_m больше a_m_1$ (см. утверждение) (7). Сразу же отметим и формулы обратного преобразования

$a_m минус 1=b_m,b_m минус 1=k в квадрате b_m минус a_m, \qquad левая круглая скобка 7' правая круглая скобка$

с помощью которых можно цепочку (6) продолжить влево. С помощью правила (7), из одного решения $левая круглая скобка a_0,b_0 правая круглая скобка ,$ удовлетворяющего (1), (2), (3), мы можем получить лишь конечное число новых решений уравнения (1), так как, согласно доказанному утверждению, $a_0 больше a_1 больше a_2 больше ...\geqslant0.$ Значит, на каком-то шаге обязательно получится $a_n=0$ (тогда, как было показано выше, $b_n=k правая круглая скобка .$ Чтобы на n-м шаге получить 0, на предыдущем шаге должно было быть $a_n минус 1=k$ (подставив $a=a_n минус 1=k$ в (1), найдем $b=b_n минус 1=k в кубе правая круглая скобка .$ Таким образом, окончание цепочки (6) выглядит так:

$...arrow левая круглая скобка a_n минус 1, b_n минус 1= левая круглая скобка k,k в кубе правая круглая скобка arrow левая круглая скобка a_n,b_n правая круглая скобка = левая круглая скобка 0,k правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка 8 правая круглая скобка$

(Цепочку (8) вправо продолжать смысла нет, так как далее

$левая круглая скобка 0,k правая круглая скобка arrow левая круглая скобка минус k,0 правая круглая скобка arrow левая круглая скобка 0,k правая круглая скобка arrow \ldots правая круглая скобка .$

А вот что предшествует паре $левая круглая скобка a_n минус 1,b_n минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка k,k в кубе правая круглая скобка ?$

Согласно (7′), на предыдущем шаге $a_n минус 2=k в кубе ,b_n минус 2=k в степени 5 минус k$   — и это тоже решение уравнения (1)! Можно продолжить, получая новые решения: $a_n минус 2=k в степени 5 минус k,b_n минус 2=k в степени 7 минус 2k в кубе$ и так далее. Значит, всего решений у уравнения (1) бесконечно много, так как цепочку (8) можно продолжить влево сколь угодно далеко.

Поясним почему (8) содержит все решения (1), удовлетворяющие условию (3). Пусть $левая круглая скобка a в степени * ,b в степени * правая круглая скобка$   — какое-то (удовлетворяющее (3)) решение уравнения (1). Было показано, что с помощью формул (7) из решения $левая круглая скобка a в степени * ,b в степени * правая круглая скобка$ можно получить цепочку новых решений (см. (6)), которая непременно закончится решением (0, k). Но это и означает, что содержится в (8), ведь, приняв теперь решение $левая круглая скобка 0,k правая круглая скобка$ за отправную точку, мы с помощью обратных преобразований (7′) вернемся к $левая круглая скобка a в степени * ,b в степени * правая круглая скобка$ (а цепочка (8) именно так и устроена: начав с $левая круглая скобка 0,k правая круглая скобка ,$ мы с помощью (7′) получаем ее всю).

Чтобы записать ответ несколько поменяем нумерацию: положим $левая круглая скобка a_0,b_0 правая круглая скобка = левая круглая скобка 0,k правая круглая скобка$ и двинемся с помощью (7′) по цепочке (8) влево (у нас будет $левая круглая скобка a_1,b_1 правая круглая скобка = левая круглая скобка k,k в кубе правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка a_2,b_2 правая круглая скобка = левая круглая скобка k в кубе ,k в степени 5 минус k правая круглая скобка$ и т. д.).

Ответ: решениями (a, b) (при условии $a меньше или равно b правая круглая скобка$ служат те и только те пары чисел $левая круглая скобка a_n,b_n правая круглая скобка$ которые каждом $n принадлежит N$ вычисляются по формулам: $a_n=b_ n минус 1,$ $b_n=k в квадрате b_n минус 1 минус a_ n минус 1,$ $a_0=0,$ $b_0=k;$ здесь $k=29.$

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Уравнения

Спрятать решение · Помощь