РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 515 Добавить в вариант

Найдите количество решений в натуральных числах уравнения x (y + z)  =  1000.

Решение.

Преобразуем исходное уравнение $y плюс z= дробь: числитель: 1000, знаменатель: x конец дроби =d,$ где d  — делитель 1000. Для каждого числа d таким образом существует единственное число x и $d минус 1$ пара $левая круглая скобка y, z правая круглая скобка$ (так как y может принимать значения от 1 до $d минус 1,$ а z после этого определён однозначно). Таким образом, искомое количество решений  — это сумма всех делителей 1000 минус их количество, $\sigma левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка минус d левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка .$

Так как $1000=2 в кубе умножить на 5 в кубе ,$

$\sigma левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 2 в квадрате плюс 2 в кубе правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 5 плюс 5 в квадрате плюс 5 в кубе правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 1 правая круглая скобка =15 умножить на 156 минус 16=2324.$ $\sigma левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 2 в квадрате плюс 2 в кубе правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 5 плюс 5 в квадрате плюс 5 в кубе правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 1 правая круглая скобка =$
$=15 умножить на 156 минус 16=2324.$ $\sigma левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 2 в квадрате плюс 2 в кубе правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 5 плюс 5 в квадрате плюс 5 в кубе правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 1 правая круглая скобка =$
$=15 умножить на 156 минус 16=2324.$

Вместо использования формул можно просто выписать все делители числа 1000, благо их не так много.

Ответ: 2324.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Только ответ  — 0 баллов.

Формулы для суммы и количества делителей считать известными и не требовать доказательств.

Правильное решение с арифметическими ошибками  — 2 балла.

Аналоги к заданию № 515: 523 Все

Открытая олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в уравнениях

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь