РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 523 Добавить в вариант

Найдите количество решений в натуральных числах уравнения x (y + z)  =  1000.

Решение.

Преобразуем исходное уравнение $y плюс z= дробь: числитель: 400, знаменатель: x конец дроби =d,$ где $d минус$ делитель 400. Для каждого числа d таким образом существует единственное число x и $d минус 1$ пара $левая круглая скобка y, z правая круглая скобка$ (так как y может принимать значения от 1 до $d минус 1,$ а z после этого определён однозначно). Таким образом, искомое количество решений  — это сумма всех делителей 400 минус их количество, $\sigma левая круглая скобка 400 правая круглая скобка минус d левая круглая скобка 400 правая круглая скобка .$ Так как $400=2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 в квадрате ,$

$\sigma левая круглая скобка 400 правая круглая скобка минус d левая круглая скобка 400 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 2 в квадрате плюс 2 в кубе плюс 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 5 плюс 5 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс 1 правая круглая скобка =31 в квадрате минус 15=946.$ $\sigma левая круглая скобка 400 правая круглая скобка минус d левая круглая скобка 400 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 2 в квадрате плюс 2 в кубе плюс 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 5 плюс 5 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс 1 правая круглая скобка =$
$=31 в квадрате минус 15=946.$ $\sigma левая круглая скобка 400 правая круглая скобка минус d левая круглая скобка 400 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 2 в квадрате плюс 2 в кубе плюс 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 5 плюс 5 в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс 1 правая круглая скобка =$
$=31 в квадрате минус 15=946.$

Вместо использования формул можно просто выписать все делители числа 1000, благо их не так много.

Ответ: 946.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Только ответ  — 0 баллов.

Формулы для суммы и количества делителей считать известными и не требовать доказательств.

Правильное решение с арифметическими ошибками  — 2 балла.

Аналоги к заданию № 515: 523 Все

Открытая олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в уравнениях

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь