Всего: 166 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
В конус вписаны две касающиеся между собой сферы a и b (каждая сфера касается поверхности конуса по окружности). Существует n равных сфер, касающихся a, b, поверхности конуса и таких, что каждая из них касается еще двух из этих n сфер. Какие значения может принимать число n?
равен x, а радиус каждой из n равных сфер равен y, расстояние от O до оси конуса O1O2 равно z. Выразим сначала y через x. Для этого проведем через O1 и O прямые, параллельные AB, обозначим получившиеся точки пересечения K, M, P. 
или 
найдём 
получаем 
то 
Поскольку 
(ч. т. д.). 
— односторонние при секущей BC), следовательно, ANKD — параллелограмм и прямоугольник, также 
значит, прямая BC параллельна AD, отсюда ABCD — трапеция.
тогда 
приравняем правые части: 
как вертикальные и 
—
при 
тогда 
отсюда 
следовательно,
то 
и 
где 
следовательно, 
и 
то есть 
значит, точка L лежит между M и B. Отсюда
значит,
б) 
Окружность радиуса 1 касается сторон AB и BC треугольника ABC, а окружность радиуса 3 внешним образом касается первой окружности и сторон AC и BC треугольника ABC. Общая касательная к этим окружностям, не содержащая сторону BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите длины сторон треугольника ABC, если 
Точки O1, O2 — центры окружностей, P, R — точки касания окружностей со стороной BC. В прямоугольном треугольнике O1O2Q с прямым углом Q, точка 
имеем 
тогда 
значит, 
и 
Имеем 
и 
Найдем:
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, которая параллельна диагонали AC1 боковой грани AA1C1С, проходит через середину стороны AB основания ABC и точку M, лежащую на стороне B1C1, 
и прямую ME параллельную AC1, ME лежит в плоскости сечения. В плоскости основания ABC проводим прямую, соединяющую точку E с серединой D стороны AB, точка K — точка пересечения этой прямой со стороной BC. В плоскости основания A1B1C1 проводим прямую MN, параллельную DK. Точка N — точка пересечения прямой MN со стороной A1B1. Трапеция DKMN — искомое сечение.
Пусть Q — проекция точки M на основание ABC, 
Пусть G — проекция точки N на основание ABC. Поскольку GQ и DK параллельны, то 
и 
Проекцией сечения на плоскость основания ABC является трапеция DKQG, ее площадь 
где D — принадлежит плоскости сечения). 
Окружность радиуса 4 касается сторон AB и BC треугольника ABC, а окружность радиуса 12 внешним образом касается первой окружности и сторон AC и BC треугольника ABC. Общая касательная к этим окружностям, не содержащая сторону BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите длины сторон треугольника AMN, если
тогда 
значит, 
и 
и 
Найдите объемы частей, на которые делит правильную треугольную призму ABCA1B1C1 плоскость, которая параллельна диагонали AC1 боковой грани AA1C1С, проходящая через середину стороны AB основания ABC и точку M, лежащую на стороне B1C1, если, расстояние от точки C до секущей плоскости равно 
а сторона основания призмы равна 
и 
Пусть Q — проекция точки M на основание ABC, 
Следовательно, 
где точка K принадлежит плоскости сечения).
поэтому расположение точек X и Y на гипотенузе будет именно таким (см. рисунок). 
и 
тогда 
и 
Воспользуемся теоремой Пифагора 
и 
соответственно. Найдите квадрат длины стороны ВС.
Прямая MH параллельна боковой стороне AB. Треугольник ВКМ равен треугольнику СНМ по гипотенузе и острому углу, так как 
и 
Тогда
при 
получаем 
и 
следовательно, 
Найдите площадь сечения правильной треугольной пирамиды TABC плоскостью, проходящей через центр сферы описанной около пирамиды, и через середины бокового ребра TA и стороны основания BC и параллельной апофеме TF боковой грани ATB, если радиус сферы равен 3.
основания ABC точкой H делится в отношении 
считая от вершины A, причем 
и 
Пусть R — радиус описанной около пирамиды сферы.
треугольники GTO и DHO подобны, и 
По теореме Пифагора для треугольника AOH имеем 
и 
отсюда 
и 
Пусть прямая QM пересекает ребро TC в точке N. Треугольники TPN и CQN подобны, 
Тогда 
Рассмотрим треугольник QKA. Имеем 
По теореме косинусов получаем 
—
ВM и CM — биссектрисы углов соответственно ABC и BCD, причём 
и 
В прямоугольных треугольниках BKM и CHM по теореме Пифагора находим соответственно: 
и 
Так как 
(BM — биссектриса угла ABC) и 
(как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BM), то 
значит, 
или 
(CM —биссектриса 
и 
(как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD), то 
значит, 
равнобедренный, при этом 
имеем 
или 
Основанием пирамиды TABCD является ромб ABCD. Высота пирамиды TK равна 1, точка K лежит на прямой, содержащей диагональ основания AC, причем KC = KA + AC. Боковое ребро TC равно 
а боковые грани наклонены к плоскости основания под углами 30° и 60°. Найдите длину стороны основания и угол между боковым ребром TA и плоскостью боковой грани TCD.
и 
тогда 
и 
следовательно
и 
Отрезок AL перпендикулярен MC, точка L лежит на прямой MC, 
тогда 
Основанием пирамиды TABCD является ромб ABCD. Высота пирамиды TK равна 5, точка K лежит на прямой, содержащей диагональ основания AC, причем KC = KA + AC. Боковое ребро TC равно 
а боковые грани наклонены к плоскости основания под углами 30° и 60°. Найдите длину стороны основания и угол между стороной основания AB и боковой гранью TBC.
тогда 
Для этого преобразуем последнее выражение
и 
Тогда из прямоугольных треугольников ABC, ACE и ACD по теореме Пифагора находим 
Площадь треугольника ABC равна 
Подставляя сюда полученное ранее выражение 
через 
с учётом условия 
находим 
и 
Так как основания BC и AD параллельны, то 
Треугольник BCD равнобедренный и 
Проведем высоту CH. Введем обозначения: 
и 
Применяя Теорему Пифагора для треугольников ABD и CHD, получим систему из двух уравнений: 
и 
Тогда, найдем площадь: 
В прямоугольном треугольнике ABC на катете AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке E. Через точку E проведена касательная к окружности, которая пересекает катет CB в точке D. Найдите длину DB, если AE = 6, а BE = 2.
поскольку опирается на диаметр. Во-вторых, DE и DC — касательные к окружности из условия, поэтому 
Следовательно, в прямоугольном треугольнике CEB на гипотенузе BC отмечена такая точка D, что 
хорошо известно, что тогда D середина этой гипотенузы, 
и 
Получаем, что 
по теореме Пифагора 
В прямоугольном треугольнике PQR на катете PR как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу PQ в точке T. Через точку T проведена касательная к окружности, которая пересекает катет RQ в точке S. Найдите длину SQ, если PT = 15, а QT = 5.
поскольку опирается на диаметр. Во-вторых, ST и SR — касательные к окружности из условия, поэтому 
Следовательно, в прямоугольном треугольнике RTQ на гипотенузе QR отмечена такая точка S, что 
хорошо известно, что тогда S — середина этой гипотенузы, 
и 
Получаем, что 
по теореме Пифагора 
Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от нее до вершины A прямого угла равно 6, до вершины B равно 4, до вершины C равно 8. Найти площадь треугольника ABC.
Получаем четырёхугольник OADB, в котором 
(см. чертёж). Дальше можно рассуждать несколькими способами. 
учитывая, что 
и 
то есть 
откуда 
Подставляя 
в первое уравнение, получаем 
Поскольку (см. чертёж) точка B должна лежать по ту же сторону от прямой ОА, что и точка D, то 
откуда 
Наконец, 
Обозначим 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ОDB имеем 
и 
По теореме косинусов для треугольников OAB и OAC имеем: 
Заметим, что 
и в этом случае 
то есть точка O не будет лежать внутри треугольника, поэтому 
Простым счётом углов убеждаемся, что 
