Всего: 138 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
имеет ровно три решения. Найдите ординату вершины трехчлена f(x).
имеет больше корней, чем уравнение 
и меньше корней, чем уравнение 
Ясно также, что никакие два уравнения не имеют общих корней. Тогда уравнение 
подходит. Разобьем числа от 1 до 2016 на 44 группы: 
Тогда 
и 
Докажите неравенство
поскольку эти строки разбиваются на 60 таких прямоугольников. Аналогичный вывод можно сделать про любые три соседние строки.
Противоречие.Дан параллелограмм ABCD. Описанная окружность ω треугольника ABC второй раз пересекает сторону AD и продолжение стороны DC в точках P и Q соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PDQ лежит на ω.
и точка B лежит на серединном перпендикуляре к PQ. Обозначим точку его пересечения с окружностью ω через О. Тогда точки B и O диаметрально противоположны и, значит, 
В силу равнобочности трапеции ABCP и равенства противоположных сторон параллелограмма ABCD, имеем 
Поэтому C лежит на серединном перпендикуляре к PD. Но CO перпендикулярно BC, а, значит, и AD. Следовательно, O также лежит на серединном перпендикуляре к PD. Итак, точка O лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам PQ 
Тогда 
делится на 5, то есть 
для некоторого целого k и 
Тогда при любом x разность 
это невозможно, поскольку уравнение 
имеет решение относительно x. Стало быть, 
и 
Тогда разность 
с рациональным b подходят, поскольку число 
то 
и 
но тогда 
что невозможно. Таким образом, в каждой десятке не более четырех выбранных чисел, а в первой тысяче чисел их не более 400, поскольку в тысяче сто десяток.
а тройка чисел x, y и z есть некоторая перестановка тройки чисел a, b, c.
Осталось показать, что 
Поскольку числа x и y — некоторая пара чисел из a, b и c, какое-то одно из них совпадает с a или с b. Таким образом, достаточно доказать, что 
для u, v, 
Или что тоже самое, 
Но это очевидно, ибо 
и 
то 
а королей — не более 56. Расстановка 56 королей показана на рисунке.Дан параллелограмм ABCD. Из вершины B опустили перпендикуляр BO на сторону AD. Окружность ω с центром в точке O проходит через точки A, B и пересекает продолжение стороны AD в точке K. Отрезок BK пересекает сторону CD в точке L,
и 
прямоугольные треугольники ABO и BOK являются равнобедренными и, значит, 
Поскольку 
четырехугольник BLDO вписанный. Поэтому 
Осталось заметить, что угол BOM центральный угол, опирающийся на дугу BM, а угол BKM — вписанный угол, опирающийся на дугу BM. Следовательно, 
делится на ab. Докажите, что a является точным квадратом.
делится на ab, то n делится и на a. Значит, b2 делится на a. Стало быть, 
Покажем, что a и k взаимно просты. Предположим противное. Тогда найдется такое простое число p, что a и k делятся на p. При этом b2 делится на p и, значит, b также делится на p. Заметим далее, что 
делится на b и, в частности, на p. Но это невозможно, поскольку a и k делятся на p, а 1 не делится. Итак, числа a и k взаимно просты и в произведении дают точный квадрат. Следовательно, они сами являются точными квадратами.
Действительно, 
что является корнем f(x).
Тогда 
и 
Предположим, что можно так выбрать 
числа, что среди них не найдется нужной пары чисел. Пусть m — наименьшее из выбранных чисел. Тогда числа 
не выбраны. Удалим их и число m из набора 
а оставшееся множество обозначим через E. Рассмотрим пары чисел 
штук. Заметим, что объединение левых и правых частей этих пар дает множество E. Тогда любое выбранное число совпадает с левой или правой частью одной из пар. По предположению таких чисел ровно 
поэтому найдутся два из них, например a и b, принадлежащие одной паре. Тогда их разность равна 
или 
Значит, a и b удовлетворяют условию задачи, что невозможно. 
Докажите, что 
заключаем, что 
и 
Следовательно, по неравенству о средних для двух чисел 
Дана доска 2016 × 2016. При каком наименьшем k клетки доски можно так раскрасить в k цветов, что
1) одна из диагоналей покрашена в первый цвет;
2) клетки, симметричные относительно этой диагонали, покрашены в одинаковый цвет;
3) любые две клетки расположенные в одной строке по разные стороны от клетки первого цвета покрашены в разные цвета (клетки не обязательно соседние с клеткой первого цвета).
Действительно, клетка, расположенная 
Но в такой же цвет покрашена и клетка, расположенная в 
Тогда их не более, чем 2k штук. Стало быть, 
в k цветов. Этого будет достаточно, поскольку, оставив лишь строки 
очевидна, поскольку доску 
можно покрасить в один цвет. Переход от k к 
Если мы уже умеем красить требуемым образом доску 
то доску 
покрасим так: разместим две копии доски 
-йДан параллелограмм ABCD. Окружность касается стороны AC треугольника ABC, а также продолжения сторон BA и BC в точках P и S соответственно. Отрезок PS пересекает стороны DA и DC в точках Q и R. Докажите, что вписанная окружность треугольника CDA касается сторон AD и DC в точках Q и R.
Снова пользуясь равенством отрезков касательных, получим, что 
—
и, значит, 
для некоторого натурального k. Если же n — нечетно, то B является точным квадратом тогда и только тогда, когда 
—
и, значит, 
для некоторого натурального k.
и 
следует, что 
Но квадратный трехчлен принимает сколь угодно большие по модулю значения. Следовательно, 
С другой стороны, при 
значение 
в точке 
равно двум, поэтому и 
Стало быть, 
Пусть 
Можно считать, что 
(иначе поменяем местами трехчлены f и g). Рассмотрим такое целое число n, которое является значением многочлена 
в некоторой точке. Обозначим эту точку через x0. Тогда 
На встрече любителей кактусов 80 кактусофилов представили свои коллекции, каждая из которых состоит из кактусов разных видов. Оказалось, что ни один вид кактусов не встречается во всех коллекциях сразу, но у любых 15 человек есть кактусы одного и того же вида. Какое наименьшее общее количество видов кактусов может быть во всех коллекциях?
кактусов. Занумеруем кактусы числами от 1 до k. Для кактуса с номером i найдется кактусофил Ai, у которого его нет. Но тогда для кактусофилов A1,