РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1953 Добавить в вариант

На 2016 карточках написали числа от 1 до 2016 (каждое по одному разу). Затем взяли k карточек. При каком наименьшем k среди них найдутся две карточки с такими числами a и b, что $\mid корень 3 степени из: начало аргумента: a конец аргумента минус корень 3 степени из: начало аргумента: b конец аргумента \mid меньше 1?$

Спрятать решение

Решение.

Покажем, что $k=13$ подходит. Разобьем числа от 1 до 2016 на 12 групп:

$левая круглая скобка 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 правая круглая скобка , левая круглая скобка 8, 9, \ldots, 26 правая круглая скобка , левая круглая скобка 27, 28, \ldots, 63 правая круглая скобка , \ldots,$

$левая круглая скобка k в кубе , k в кубе плюс 1, \ldots, левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка в кубе минус 1 правая круглая скобка , \ldots, левая круглая скобка 1728, 1729, \ldots, 2016 правая круглая скобка .$

Поскольку чисел 13, какие-то два из них (назовем их a и b ) окажутся в одной группе. Пусть для определенности $a меньше b.$ Тогда

$k в кубе меньше или равно a меньше b меньше левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка в кубе$

и, следовательно,

$0 меньше корень 3 степени из: начало аргумента: b конец аргумента минус корень 3 степени из: начало аргумента: a конец аргумента меньше левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка минус k=1 .$

Предъявим теперь 12 чисел, все разности между кубическими корнями из которых не меньше 1: 1³, 2³, 3³, 4³, ..., 12³.

Ответ: 13.

Аналоги к заданию № 1923: 1953 Все

Олимпиада СПБГУ, 8, 9, 6, 7 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. Числовые наборы на карточках и досках

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь