Всего: 172 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
На острове живёт нечётное число людей, причём каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Как-то раз все рыцари заявили: "Я дружу только с 1 лжецом", а все лжецы: "Я не дружу с рыцарями". Кого на острове больше, рыцарей или лжецов?
Есть 100 коробок, пронумерованных числами от 1 до 100. В одной коробке лежит приз, и ведущий знает, где он находится. Зритель может послать ведущему пачку записок с вопросами, требующими ответа "да" или "нет". Ведущий перемешивает записки в пачке и, не оглашая вслух вопросов, честно отвечает на все. Какое наименьшее количество записок нужно послать, чтобы наверняка узнать, где находится приз?
перпендикулярной основаниями. Разрезания 
и 
где M — середина AD.Болельщики Спартака говорят правду, когда Спартак выигрывает, и лгут, когда он проигрывает. Аналогично ведут себя болельщики Динамо, Зенита и Локомотива. После двух матчей с участием этих четырех команд, каждая из которых закончилась победой одной из команд, а не ничьей, из болельщиков, смотревших трансляцию, на вопрос "болеете ли вы за Спартак?" положительно ответили 200 человек, на вопрос "болеете ли вы за Динамо?" положительно ответили 300 человек, на вопрос "болеете ли вы за Зенит?" положительно ответили 500 человек, на вопрос "болеете ли вы за Локомотив?" положительно ответили 600 человек. Сколько человек болело за каждую из команд?
для некоторых целых чисел x и y. Строго обоснуйте ответ.
По модулю 4 или 0 или 3. 3 может быть: 
Разрешается стереть любые два числа a и b и записать вместо них a + b = ab. После нескольких таких операций на доске осталось одно число. Чему оно может быть равно?
Слова языка роботов планеты Шелезяка — последовательности стрелочек «вверх», «вниз», «влево» и «вправо», причём две противонаправленные стрелочки не могут стоять рядом. Учитель написал на доске 1000000 слов этого языка. Четыре ученика переписывают слова к себе в тетрадь, делая следующие изменения: ученик U приписывает перед словом стрелочку вверх, а если это запрещено (слово начинается с «вниз»), то убирает это первое «вниз», ученики D, L, R делают всё то же самое, только приписывают соответственно стрелку вниз, влево или вправо, и вычёркивают первый символ, если он оказался «вверх», «вправо», «влево». Докажите, что в одной из четырёх тетрадей минимум половина (500 000) слов не будет встречаться среди слов на доске.
Написав три аналогичных неравенства и сложив их вместе, получим, что
не меньше 2 000 000.
имеет ровно три решения. Найдите ординату вершины трехчлена f(x).
имеет больше корней, чем уравнение 
и меньше корней, чем уравнение 
Ясно также, что никакие два уравнения не имеют общих корней. Тогда уравнение 
подходит. Разобьем числа от 1 до 2016 на 44 группы: 
Тогда 
и 
Докажите неравенство
поскольку эти строки разбиваются на 60 таких прямоугольников. Аналогичный вывод можно сделать про любые три соседние строки.
Противоречие.Дан параллелограмм ABCD. Описанная окружность ω треугольника ABC второй раз пересекает сторону AD и продолжение стороны DC в точках P и Q соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PDQ лежит на ω.
и точка B лежит на серединном перпендикуляре к PQ. Обозначим точку его пересечения с окружностью ω через О. Тогда точки B и O диаметрально противоположны и, значит, 
В силу равнобочности трапеции ABCP и равенства противоположных сторон параллелограмма ABCD, имеем 
Поэтому C лежит на серединном перпендикуляре к PD. Но CO перпендикулярно BC, а, значит, и AD. Следовательно, O также лежит на серединном перпендикуляре к PD. Итак, точка O лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам PQ 
Тогда 
делится на 5, то есть 
для некоторого целого k и 
Тогда при любом x разность 
это невозможно, поскольку уравнение 
имеет решение относительно x. Стало быть, 
и 
Тогда разность 
с рациональным b подходят, поскольку число 
то 
и 
но тогда 
что невозможно. Таким образом, в каждой десятке не более четырех выбранных чисел, а в первой тысяче чисел их не более 400, поскольку в тысяче сто десяток.
а тройка чисел x, y и z есть некоторая перестановка тройки чисел a, b, c.
Осталось показать, что 
Поскольку числа x и y — некоторая пара чисел из a, b и c, какое-то одно из них совпадает с a или с b. Таким образом, достаточно доказать, что 
для u, v, 
Или что тоже самое, 
Но это очевидно, ибо 
и 
то 