РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1932 Добавить в вариант

Найдите все такие многочлены f(x) степени не выше второй, что для любых вещественных x и y, разность которых рациональна, разность f(x) − f(y) также рациональна.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a x в квадрате плюс b x плюс c.$ Тогда при любом x разность

$f левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка a левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс b левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс c правая круглая скобка минус левая круглая скобка a x в квадрате плюс b x плюс c правая круглая скобка =2 a x плюс a плюс b$ $f левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка a левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс b левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс c правая круглая скобка минус левая круглая скобка a x в квадрате плюс b x плюс c правая круглая скобка =2 a x плюс a плюс b$ $f левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка a левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс b левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс c правая круглая скобка минус левая круглая скобка a x в квадрате плюс b x плюс c правая круглая скобка =$
$=2 a x плюс a плюс b$

рациональна. Если $a не равно q 0$ это невозможно, поскольку уравнение $2 a x плюс a плюс b= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ имеет решение относительно x. Стало быть, $a=0$ и $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b x плюс c.$ Тогда разность

$f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 b плюс c правая круглая скобка минус левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка =b$

рациональна. Значит, b  — рациональное число.

Осталось заметить, что все функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b x плюс c$ с рациональным b подходят, поскольку число

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка y правая круглая скобка = левая круглая скобка b x плюс c правая круглая скобка минус левая круглая скобка b y плюс c правая круглая скобка =b левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка$

рационально для любой рациональной разности $x минус y.$

Ответ: линейные с рациональным старшим коэффициентом или константы.

Олимпиада СПБГУ, 8, 9, 6, 7 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Алгебра: числа. Числа рациональные и иррациональные

Спрятать решение · Помощь