РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1937 Добавить в вариант

Дан параллелограмм ABCD. Из вершины B опустили перпендикуляр BO на сторону AD. Окружность ω с центром в точке O проходит через точки A, B и пересекает продолжение стороны AD в точке K. Отрезок BK пересекает сторону CD в точке L, а луч OL пересекает окружность ω в точке M. Докажите, что KM биссектриса угла BKC.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку $O A=O B=O K$ и $\angle B O A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ прямоугольные треугольники ABO и BOK являются равнобедренными и, значит,

$\angle B A K=\angle B K A=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

A по свойству углов параллелограмма

$\angle K B C=\angle C D K=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Тогда четырехугольник BDKC вписанный. Следовательно, $\angle B K C=\angle B D C.$ Поскольку

$\angle B L D=\angle L D K плюс \angle L K D=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

и $\angle B O D=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ четырехугольник BLDO вписанный. Поэтому $\angle B D C=\angle B O M.$ Осталось заметить, что угол BOM центральный угол, опирающийся на дугу BM, а угол BKM  — вписанный угол, опирающийся на дугу BM. Следовательно,

$\angle B K C=\angle B D C=\angle B O M=2 \angle B K M$

и KM  — биссектриса угла BKC.

Аналоги к заданию № 1928: 1937 Все

Олимпиада СПБГУ, 8, 9, 6, 7 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности и многоугольник

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь