РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3869 Добавить в вариант

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Многогранники, Методы геометрии. Теорема Пифагора

Основанием пирамиды TABCD является ромб ABCD. Высота пирамиды TK равна 5, точка K лежит на прямой, содержащей диагональ основания AC, причем KC  =  KA + AC. Боковое ребро TC равно $6 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ а боковые грани наклонены к плоскости основания под углами 30° и 60°. Найдите длину стороны основания и угол между стороной основания AB и боковой гранью TBC.

Решение.

1)  Пусть отрезок KN перпендикулярен отрезку AD и KN пересекает AD в точке N; отрезок KM перпендикулярен отрезку CB и KM пересекает CB в точке M, отсюда

$K N= дробь: числитель: T K, знаменатель: тангенс 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: T K корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $\quad K M= дробь: числитель: T K, знаменатель: тангенс 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =T K корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $\quad N M= дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби T K .$

Значит, $K C= корень из: начало аргумента: T C в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус T K в квадрате правая круглая скобка$ и

$M C= корень из: начало аргумента: K C в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус K M в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: T C в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 4 T K в квадрате правая круглая скобка .$

2)  Пусть $\angle ACD= альфа ,$ тогда $синус альфа = дробь: числитель: K M, знаменатель: K C конец дроби$ и $косинус альфа = дробь: числитель: M C, знаменатель: K C конец дроби ,$ следовательно

$синус 2 альфа = дробь: числитель: 2 K M умножить на M C, знаменатель: K C в квадрате конец дроби \Rightarrow a=A D= дробь: числитель: M N, знаменатель: синус 2 альфа конец дроби .$

Вычислим:

$a= дробь: числитель: T K умножить на K C в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента K M умножить на M C конец дроби = дробь: числитель: T C в квадрате минус T K в квадрате , знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: T C в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 4 T K в квадрате правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 31 корень из 5 , знаменатель: 12 конец дроби .$

3)  Прямая AF параллельна ребру TK, точка F лежит на прямой TC, $K A: A C=1: 2$ и $F A= дробь: числитель: 2 T K, знаменатель: 3 конец дроби .$ Отрезок AL перпендикулярен MC, точка L лежит на прямой MC, тогда $AL=MN= дробь: числитель: 2 корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби TK$ и

$FL= корень из: начало аргумента: FA в квадрате плюс AL в квадрате конец аргумента = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби TK.$

Отрезок AP перпендикулярен FL и перпендикулярен плоскости TBC, где BP  — проекция AB на плоскость TBC, угол ABP  — искомый угол. Пусть $\angle ABP=\varphi,$ тогда

$синус \varphi= дробь: числитель: A P, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента T K, знаменатель: 3 a конец дроби = дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 31 конец дроби \Rightarrow \varphi = арксинус дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 31 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 31 корень из 5 , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $арксинус дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 31 конец дроби .$

Аналоги к заданию № 3863: 3869 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе