Всего: 166 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
В треугольнике ABC проведена медиана BM; MD и ME — биссектрисы треугольников AMB и CMB соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке P, причём 
а) Найдите отрезок DE.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.
то отсюда следует, что 
поэтому AC и DE — параллельны. Но тогда 
Аналогично получаем, что 
и тогда 
б) 
В треугольнике ABC проведена медиана BM; MD и ME — биссектрисы треугольников AMB и CMB соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке P, причём 
а) Найдите отрезок DE.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.
Аналогично получаем, что 
и тогда 
б)
В прямоугольнике ABCD на продолжении стороны CD за точку D отмечена точка E. Биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке K, а биссектриса угла ADE пересекает продолжение стороны AB в точке M. Найдите BC, если MK = 8 и AB = 3.
Аналогично получаем, что 
Значит, треугольники AKM и ABD равны по двум катетам. Применяя в треугольнике AKM теорему Пифагора, находим 
В прямоугольнике ABCD на продолжении стороны CD за точку D отмечена точка E. Биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке K, а биссектриса угла ADE пересекает продолжение стороны AB в точке M. Найдите BC, если MK = 9 и AB = 4.
Три конуса с вершиной A и образующей 
касаются друг друга внешним образом. У двух конусов угол между образующей и осью симметрии равен 
а у третьего он равен 
Найдите объем пирамиды O1O2O3A, где O1, O2, O3 — центры оснований конусов.
и 
где B — середина отрезка O1O2, AD — общая образующая второго и третьего конусов. Тогда 
Три конуса с вершиной A и образующей 6 касаются друг друга внешним образом. У двух конусов угол между образующей и осью симметрии равен 
а у третьего он равен Найдите объем пирамиды O1O2O3A, где O1, O2, O3 — центры оснований конусов.
где B — середина отрезка O1O2, AD — общая образующая второго и третьего конусов. Тогда 
и 
прямой, то C и D совпадают с точками касания окружностей и угла.
то AC и AD должны быть симметричны AB относительно радиусов соответствующих окружностей. Из этой симметричности ясно, что такие точки C и D единственны. Значит, если мы покажем, что точки касания подходят на их роль, мы победим. Пусть радиус маленькой окружности равен 1, большой — R. Тогда из теоремы Пифагора для 
получим: 
а именно 
Пусть A′ — середина этого отрезка, тогда не очень трудно проверить, что она лежит на обеих 
Осталось убедиться, что 
значит, 
а сумма соответствующих углов между хордой и касательной 
На отрезке AB длины 10 как на диаметре построена окружность ω. Через точку A проведена касательная к ω, на которой выбрана точка K. Через точку K проведена прямая, отличная от AK, касающаяся окружности ω в точке C. Высота CH треугольника ABC пересекает отрезок BK в точке L. Найдите площадь треугольника CKL, если известно, что 
и 
Поэтому 
На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Радиусы их оснований равны 32, 48 и 48, углы при вершине — 
и 
соответственно (углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении). Над столом подвесили шар, касающийся всех конусов. Оказалось, что центр шара равноудален от центров оснований всех конусов. Найдите радиус шара.
откуда 
и 
Заметим, что 
и по теореме Пифагора 
На столе лежат шары радиусов 2, 2, 1, касаясь друг друга внешним образом. Вершина конуса находится посередине между точками касания одинаковых шаров со столом, а сам конус касается внешним образом всех шаров. Найдите угол при вершине конуса. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
и 
Из условия касания шаров 
и
откуда 
попадает на отрезок O1O2 (см. верхний рисунок). Образующие, по которым конус касается одинаковых шаров, лежат в плоскостях KCO1 и KCO2, откуда 
Отметим несколько простых фактов. 
Так как отрезок KH перпендикулярен стороне O1O2, мы получим 
В угол 60° вписана окружность радиуса 1. Вторая окружность касается сторон угла и первой окружности. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и одной из сторон угла.
а CP = 3. Пусть радиус окружности с центром O2 равен R. Тогда 
Из прямоугольного треугольника с углом 30° O2CG получаем: CO2 = 2 · O2G, т. е. 3 + R = 2 · R, откуда R = 3. Найдём отрезок FG. Для этого проведём через центр первой окружности O1 перпендикуляр O1M на радиус O2G. Тогда в прямоугольном треугольнике O1MO2:
откуда: 
поэтому легко рассчитать все элементы чертежа, включая ответ. Так, R = 3, отрезок FG и искомый радиус равны:
или 
В угол BCA вписана окружность радиуса 1 с центром в точке ܱO1. Синус угла O1CA равен 
Вторая окружность касается первой окружности и сторон угла. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и одной из сторон угла.
а CP = 4. 
и 
Из прямоугольного треугольника O2CG получаем: 
т. е. 
откуда R = 2. Найдём отрезок FG. Для этого проведём через центр первой окружности O1 перпендикуляр O1M на радиус O2G. Тогда в прямоугольном треугольнике O1MO2:
и 
По теореме Пифагора: 
то 
откуда: 
поэтому легко рассчитать все элементы чертежа, включая ответ. Так, 
и 
или 
Площадь прямоугольного треугольника можно найти как произведения его катетов, деленное 
и высота 
то есть 
Пусть BP и AD, CN и AD — перпендикулярны между собой. В треугольнике ABP по теореме Пифагора имеем: 
и 
В треугольнике CDN по теореме Пифагора имеем: 
и 
и 
2) 
и 
Так как 
то 
и 
Находим стороны трапеции 
и высоту 
Из треугольника DBP имеем по теореме Пифагора находим BD: 
Найдите косинус острого угла между медианами данного треугольника, проведенными к его катетам.
получаем: 
или 
Тогда 
и 
или 
и 
По теореме Пифагора найдем медианы AN и CK: 
и 
Найти: AC и CB.
и 
Заметим, что четырёхугольник NOMS — квадрат. Пусть 
и 
следовательно, по т. Пифагора 
и 
получаем
и 
?
и 
Такой прямоугольный параллелепипед легко умещается в коробке с размерами 