Всего: 166 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 | 141–160 …
Добавить в вариант
Даны две непересекающиеся окружности радиуса R. Прямая l1 пересекает первую окружность в точках A и B, а вторую — в точках C и D. Прямая l2 пересекает первую окружность в точках K и L, а вторую — в точках M и N. Известно, что
Найдите R.
или 
обозначим её за ℓ пусть длина отрезков, которые на ней высекают точки пересечения с окружностями, равна 2a. Так как окружности высекают на прямой равные хорды, то расстояния от центров окружностей до ℓ также равны: рассмотрев треугольник с вершинами в одной из точек пересечения окружности с прямой, центре окружности и проекции
(см. левый рис.). Если же центры находятся по разные стороны от прямой, то она проходит через S (см. правый рис.). Обозначив проекцию O1 на ℓ за 
а одно из пересечений первой окружности с ℓ за 
получаем 
либо параллельна отрезку 
либо проходит через его середину; но обе они быть параллельны не могут, так как тогда 
и обе проходить через середину они тоже не могут, так как в этом случае 
при 
Значит, первая прямая параллельна O1O2, а вторая проходит через S. Тогда 
Найдите длину отрезка CL, если BL = 10 и DL = 13.
(второе равенство следует из параллельности AD и BC), поэтому 
(см. рис.).
(второе равенство следует из параллельности AB и CD), то есть треугольник BCK является равнобедренным 
Видим, что CL — высота в равнобедренном треугольнике, поэтому также является и его биссектрисой.
откуда 
Следовательно, L является серединой стороны AD, откуда находим 
Осталось применить теорему Пифагора для треугольника BLC и получить 
а другой катет и гипотенуза выражаются натуральными числами?
Отсюда получим 
Внутри прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AC взята точка M так, что площади треугольников ABM и BCM составляют треть и четверть площади треугольника ABC соответственно. Найти BM, если AM = 60 и CM = 70. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
и 
получим 
В ответ записываем ближайшее целое.В треугольнике ABC проведена высота BH, точка O — центр описанной около него окружности, длина ее радиуса равна R. Найдите наибольший из углов 
выраженный в радианах, если известно, что 
При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
Аналогично для AM:
Так как 
то 
Вычислим угол ACB:
В равнобедренном треугольнике ABC на высоте BH, равной основанию AC, как на диаметре, построена окружность, пересекающая боковую сторону BC в точке F. Каково отношение площади треугольника FCH к площади треугольника ABC? Какая часть площади треугольника ABC находится внутри окружности?
и 
Поскольку угол BFH — прямой, то по теореме об соотношениях в прямоугольном треугольнике для двух катетов BH, HC будем иметь: 
Тогда по теореме косинусов для треугольника BOF: 
По теореме Пифагора 
—
не является полным квадратом. Если 
то
не является полным квадратом. Но и y не может равняться 2018 , так как y обязательно нечетное;
то 
Следовательно, один из катетов может равняться 2112.
Найдите длину AC, если CD = 18, 
Из отношения известно 
и 
Тогда 
и 
Продолжим AB и CD до пересечения в точке K. Тогда 
отсюда 
Из теоремы Пифагора получаем 
Из теоремы Пифагора получаем 
Chords EF, FG and GH are drawn in a circle. It is known that 
and the chord EF is parallel to the chord GH. Point T belongs to the circle, and 
Find the area of pentagon EFHTG.
В круге проведены хорды EF, FG и GH такие, что и хорда EF параллельна хорде GH. На окружности выбрана точка T такая, что Найдите площадь пятиугольника EFHTG.
Triangles EFG and HTF are equal to each other, and as their sides are known, the areas can be calculated using Heron's formula: 
Then 
Then we use law of cosines and extended law of sines for triangle FGT: 
for 
or 
The former variant is unacceptable (as it means that 
and the only possibility is the latter one. It yields 
и 
Далее применяем теорему косинусов и обобщённую теорему синусов для треугольника FGT: 
и подходит только второй вариант. Отсюда следует, что 
точка H расположена ближе к D, чем к B. По теореме Пифагора 
треугольника 
находим, что 
в сторону точки D величина 
меняется монотонно, мы заключаем, что 
Это и, значит, что 
равно удвоенной площади этого четырехугольника. Грани тетраэдра при проектировании в эту плоскость дважды накрывают четырехугольник ABCD, поэтому площадь поверхности тетраэдра больше площади четырехугольника. 
чтд.
Прямая, симметричная CD относительно CK, пересекает сторону AB в точке L. Найдите величину 
Чтобы найти сторону PC, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника PCD: 
не имеет геометрического смысла, поэтому 
Несложно заметить, что треугольники ALP и BLC подобны, откуда будет следовать, что 
Поэтому сумма квадратов любых двух сторон основания больше квадрата третьей стороны, а это означает, что треугольник ABC — остроугольный.В треугольнике ABC сторона 
Биссектриса CL делится точкой пересечения биссектрис треугольника в отношении 2 : 1, считая от вершины. Найдите длину стороны AB, если радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 14.
откуда 
откуда 
Полагая 
имеем 
В силу теоремы Пифагора: 
то есть 
а 
На продолжении стороны AB отложен отрезок 
и проведена биссектриса угла 
треугольника ABC, пересекающая сторону AC в точке E. Найти площадь четырехугольника CDBE.
или 
Тогда площадь треугольника ABE равна 
тогда 
подобны с коэффициентом подобия 
поэтому их площади относятся как квадрат коэффициента подобия 
высота треугольника равна 
По теореме Пифагора находятся катеты: они равны 
и 
Радиус вписанной окружности равен 
после чего получаем разложение:
в нашем случае принимает вид: 
единственен.
откуда 2HM = BH. В сумме имеем 2CH = 2CM + 2HM = BC + BH. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора: 
Тогда 
Теперь нетрудно завершить решение задачи: так как 
то 
по теореме Пифагора. Мы знаем 
откуда 
Получаем 
это значение совпадает с искомым 
В прямоугольнике ABCD из вершин B и D опущены перпендикуляры на диагональ AC. Эти перпендикуляры пересекают диагональ в точках P и Q соответственно. Найдите площадь прямоугольника, если AP = 2, PQ = 6.
There are perpendiculars BP, QD dropped to the diagonal AC of a rectangle ABCD while points P, Q are located on the diagonal. Find the area of the rectangle while AP = 2, PQ = 6.
и площадь ABCD равна 40.