Всего: 166 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от нее до вершины A прямого угла равно 5, до вершины B равно 7, до вершины C равно 3. Найти площадь треугольника ABC.
Получаем четырёхугольник OADB, в котором 
(см. чертёж). Дальше можно рассуждать несколькими способами. 
учитывая, что 
и 
тот есть
откуда 
Подставляя 
в первое уравнение, получаем
Обозначим 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ODB имеем 
По теореме косинусов для треугольников OAB и OAC имеем: 
Заметим, что 
и в этом случае 
то есть точка 
не будет лежать внутри треугольника, поэтому 
Простым счётом углов убеждаемся, что 
см2.
Площадь боковой поверхности конуса известна: 
Отсюда 
то есть 
то 
V(r) возрастает; 
то 
V(r) убывает, значит, 
Точка P лежит на гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точка F принадлежит катету AB, причем угол FPC прямой. Площадь треугольника FPC составляет 
площади треугольника ABC. Определить, в какой пропорции точка P делит сторону AC.
Тогда треугольник APF тоже равнобедренный и 
и 
По теореме Пифагора из треугольника ABC: 
тогда
не подходит, так как 
и 
Таким образом,
На катетах прямоугольного треугольника площади 1 как на диаметрах построены полукруги, расположенные вне этого треугольника. Найдите суммарную площадь частей этих полукругов, расположенных вне круга, описанного около этого треугольника.
так как нас интересуют лишь положительные значения x.
равна половине длины 
а длина AQ вдвое больше длины 
Следовательно, длина стороны AB равна 
Следовательно, 
a высота из вершины I равна 
Эта высота и отрезки IP и IQ равны, как радиусы вписанной окружности, поэтому 
откуда 
Сложим эти равенства и перегруппируем результат в виде: 
для некоторого 
и заключено в интервале от 
(включая) до 
(исключая). Следовательно, сумма 
заключена в интервале от 
(включая) до 
(исключая), что и требовалось доказать.
Тогда 
Из прямоугольных треугольников BMD и AME соответственно имеем 
и 
Отсюда 
Тогда 
и 
Отсюда 
Имеются две окружности: с центром в точке А и радиусом 6 и с центром в точке В и радиусом 3. Их общая внутренняя касательная касается окружностей соответственно в точках С и D. Прямые АВ и СD пересекаются в точке Е. Найдите СD, если АЕ = 10.
Из треугольника ACE, по теореме Пифагора, находим 
Отсюда, 
а 
Имеются две окружности: с центром в точке А и радиусом 5 и с центром в точке В и радиусом 15. Их общая внутренняя касательная касается окружностей соответственно в точках С и D. Прямые АВ и СD пересекаются в точке Е. Найдите СD, если ВЕ = 39.
Поэтому 
Из треугольника ACE, по теореме Пифагора, находим 
Отсюда, 
а 
или, что то же самое, 
Значит, 
Следовательно, CFOD — квадрат. Тогда 
и 
как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки. Значит, 
и 
то есть 
откуда 
что и требовалось доказать.
откуда 
и 
Проведем прямую O2C параллельную отрезку AB. В треугольнике O1O2C:
получаем 
то приходим к уравнению 
откуда 
Дана правильная четырёхугольная пирамида. Сторона основания равна 6, длина бокового ребра равна 5. Сфера Q1 вписана в пирамиду. Сфера Q2 касается Q1 и всех боковых граней пирамиды. Найдите радиус сферы Q2.
Очевидно, сфера Q2 вписана в эту пирамиду. Легко найти высоту отсечённой пирамиды: 
Дана правильная четырёхугольная пирамида. Сторона основания равна 12, длина бокового ребра равна 10. Сфера Q1 вписана в пирамиду. Сфера Q2 касается Q1 и всех боковых граней пирамиды. Найдите радиус сферы Q2.
где k1 — угловой коэффициент прямой, проходящей через точку B, а k2 — через точку A. Найдем эти значения: 
следовательно, 
следовательно, 
решения нет. Найдем решение при 
и 
Отложим точку C, симметричную точке A относительно прямой 
для этого из A опустим перпендикуляр на 
и на нем найдем точку C такую, что 
Проводя прямую через точки C и B, найдем ее пересечение с прямой 
а кратчайшее расстояние между точками — прямая. Найдем периметр этого треугольника: 
Прямая, симметричная CD относительно CK, пересекает сторону AB в точке L. Найдите величину 
Чтобы найти сторону PC, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника PCD: 
не имеет геометрического смысла, поэтому 
Несложно заметить, что треугольники ALP и BLC подобны, откуда будет следовать, что 
поэтому 
и 
