РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5552 Добавить в вариант

Медианы, проведённые из вершин А и В треугольника АВС, перпендикулярны друг другу. Найдите площадь квадрата со стороной АВ, если ВС  =  36, АС  =  48.

Спрятать решение

Решение.

Пусть D  — середина BC, E  — середина AC, M  — точка пересечения медиан. Положим $M D=a,$ $M E=b.$ Тогда $A M=2 a,$ $B M=2 b.$ Из прямоугольных треугольников BMD и AME соответственно имеем

$a в квадрате плюс 4 b в квадрате =B D в квадрате =18 в квадрате$ и $4 a в квадрате плюс b в квадрате =A E в квадрате =24 в квадрате .$

Сложив полученные равенства, после деления на 5 получим $a в квадрате плюс b в квадрате =180.$ Отсюда

$A B в квадрате =A M в квадрате плюс B M в квадрате =4 левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка =720.$

Ответ: 720.

Аналоги к заданию № 5546: 5552 Все

Инженерная олимпиада Звезда, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Теорема Пифагора

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь