РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5528 Добавить в вариант

На сторонах АВ, ВС, CD и DA квадрата АВСD соответственно отмечены точки P, Q, R, S, отличные от вершин. Известно, что длина стороны квадрата равна 1, доказать, что выполнены неравенства:

$2 меньше или равно PQ в квадрате плюс QR в квадрате плюс RS в квадрате плюс SP в квадрате меньше 4.$

Спрятать решение

Решение.

Для длин четырёх отрезков из неравенства запишем четыре теоремы Пифагора, $PS в квадрате = A в квадрате плюс SA в квадрате ,$ $PQ в квадрате = BP в квадрате плюс BR в квадрате ,$ $QR в квадрате = CQ в квадрате плюс CR в квадрате ,$ $RS в квадрате =D R в квадрате плюс D S в квадрате .$ Сложим эти равенства и перегруппируем результат в виде:

$PQ в квадрате плюс QR в квадрате плюс RS в квадрате плюс PS в квадрате = левая круглая скобка AM в квадрате плюс PB в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка B Q в квадрате плюс Q C в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка C R в квадрате плюс R D в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка D S в квадрате плюс S A в квадрате правая круглая скобка .$

Каждое из выражений в скобках имеет вид $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате =2 x в квадрате минус 2 x плюс 1,$ для некоторого $0 меньше x меньше 1$ и заключено в интервале от $f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ (включая) до $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1$ (исключая). Следовательно, сумма $P Q в квадрате плюс Q R в квадрате плюс R S в квадрате плюс S P в квадрате$ заключена в интервале от $4 f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2$ (включая) до $4 f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =4$ (исключая), что и требовалось доказать.

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 3 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Анализ. Свойства функций (четность, периодичность, ...), Геометрия: планиметрия. Четырехугольник произвольный, Методы геометрии. Теорема Пифагора

Спрятать решение · Помощь