Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от нее до вершины A прямого угла равно 5, до вершины B равно 7, до вершины C равно 3. Найти площадь треугольника ABC.
Рассмотрим поворот вокруг точки A на угол 90°, который переводит точку C в точку B. Пусть при этом повороте точка O переходит в точку D; тогда отрезок BD является образом отрезка CO; поскольку при повороте длина отрезков не меняется,
Получаем четырёхугольник OADB, в котором 
(см. чертёж). Дальше можно рассуждать несколькими способами.
Способ I. Рассмотрим систему координат, в которой точка O имеет координаты (0, 0), точка A имеет координаты (5, 0), точка D — координаты (5, −5). Найдём координаты точки 
учитывая, что 
и 
тот есть
Вычитая из первого уравнения второе, получаем 
откуда 
Подставляя 
в первое уравнение, получаем
откуда
Поскольку точка B должна лежать по ту же сторону относительно AD, что и точка O, то
Наконец,
Способ II. Для начала заметим, что 
Обозначим 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ODB имеем
а тогда
Теперь, по теореме косинусов для треугольника ADB, получаем
Ответ: 
Приведем другое решение.
Пусть 
По теореме косинусов для треугольников OAB и OAC имеем:
откуда
Возводя эти неравенства в квадрат, после сложения, получаем квадратное уравнение на x2:
Корнями этого уравнения являются 
Заметим, что 
и в этом случае 
то есть точка 
не будет лежать внутри треугольника, поэтому
План третьего решения.
Отразим точку O симметрично относительно сторон AB, AC и BC треугольника ABC; обозначим образы через X, Y и Z соответственно. (см. рис.) Тогда 
Простым счётом углов убеждаемся, что
Площадь пятиугольника XYCZB в два раза больше площади треугольника ABC. С другой стороны, площадь XYCZB складывается из площади двух прямоугольных треугольников YCZ и XBZ, в который нам известен катет, а также треугольника XYZ, у которого нам известны все стороны, поэтому его площадь мы можем найти, например, воспользовавшись формулой Герона.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Наверх