Всего: 166 … 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 | 141–160 | 161–166
Добавить в вариант
Из точки K на стороне AC треугольника ABC опустили перпендикуляры 
и 
на стороны ABи
соответственно. Из точки 
опустили перпендикуляр 
на BC, а из точки 
— перпендикуляр 
на AB.
Оказалось, что треугольники 
и 
подобны (точка в первом треугольнике соответствует точке 
во втором). Кроме того, 
и 
Найдите 
является вписанным, так как 
Поэтому 
поэтому треугольники 
во втором. Однако в условии написано, что они подобны и другим образом, значит, эти два треугольника равнобедренные. Отсюда получаем, что 
и, по теореме Пифагора, находим 
и 
находятся внутри окружности 
радиуса 6 , касаясь её внутренним образом, а друг друга внешним. При этом окружности 
и 
проходят через центр окружности 
Найдите радиус окружности 
Кроме того, они касаются друг друга в центре окружности 
что означает, что центры всех этих трёх окружностей лежат на одной прямой.
Кроме того, точка O (центр окружности 
и 
и 
Найдите AB.
и BO являются их диаметрами. Значит, углы 
и 
прямые. Это не может быть один и тот же угол, поскольку тогда окружности 
На поверхности куба 
построена замкнутая линия, каждая точка X которой обладает следующим свойством: длина кратчайшего пути по поверхности куба между точками X и A равна длине кратчайшего пути по поверхности куба между X и 
Найдите длину этой линии, если длина ребра куба равна 1.
BC, CD, 
и отрезками 
AC, 
линия, о которой идет речь в условии задачи, разбивается на 12 равных частей. Поэтому достаточно рассмотреть точки, принадлежащие треугольнику ABC.
—
вершина K которой принадлежит ребру BC (в случае 
имеем просто отрезок 
). На ребрах куба объединение граней ABCD и 
представляет собой прямоугольник 
а ломаная 
—
означает, что P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку 
этот перпендикуляр пересекается с треугольником ABC по отрезку MN, где M — середина ребра BC, а N — точка на отрезке AC, угол AMN равен 90° (см. рис.). 
откуда: 
Тогда 
т. к. 
тогда b = a, AN = AK, треугольник KAN равнобедренный прямоугольный, по теореме Пифагора 
Окружности ω1 и ω2, радиусы которых равны 61 и 25, пересекаются в точках A и B. Окружность ω касается ω1 и ω2 внешним образом. Прямая AB пересекает ω в точках P и Q. Оказалось, что точки P и Q делят ω на две дуги, длины которых различаются в 2 раза. Найдите расстояние между центрами ω1 и ω2.
Нам нужно найти d1 + d2.
Действительно, из условия следует, что прямая AB отсекает от окружности ω дугу в 120° (рис. 2). Это означает, что угол при вершине равнобедренного треугольника POQ равен 120°, то есть его высота в два раза меньше боковой стороны.
Проделав аналогичные операции, получим вывод 
образуют угол 60° с прямой AB.
и 
прямая AB — в прямую 
(то есть в себя); все они будут пересекаться в точке 
Окружность ω и прямые ℓ1 и ℓ2 перейдут в окружности 
и 
вписанные в угол, образованный прямыми 
(рис. 4). При этом окружность 
будет образовывать угол 60° с прямой 
так как углы между окружностями и прямыми сохраняются при инверсии.
переходят друг в друга при гомотетиях с центром 
то они все образуют одинаковые углы 60° с прямой 
Значит, и до инверсии прямые ℓ1 и ℓ2образовывали с AB такой же угол. 
Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что 
На описанной окружности треугольника ABC нашлись точки D и E такие, что прямая CE параллельна хорде AB и прямая BD параллельна хорде AC. Докажите, что точка H лежит на прямой DE.
а точку пересечения прямой AH с описанной окружностью — через 
(см. рис.). Из условий 
и 
следует, что 
Кроме того, из 
(это известное утверждение о том, что отражение ортоцентра треугольника относительно стороны лежит на описанной около него окружности). 
Применяя несколько теорем Пифагора, получаем 
следует, что 
то есть 
Отсюда следует подобие треугольников 
и ADH, откуда 
С другой стороны, 
поскольку эти вписанные углы опираются на равные хорды AD и AE. Из равенства 
и следует, что точка H лежит на прямой DE.
и 
Тогда EC2 и DB2 — диаметры описанной окружности треугольника ABC, пересекающиеся в её центре O. Значит, коллинеарность точек D, E, H эквивалентна тому, что точка, симметричная H относительно O, лежит на отрезке B2C2, а это эквивалентно тому, что точка O лежит на отрезке B1C1. Несложным счётом углов можно проверить, что радиус AO перпендикулярен прямой B1C1, поэтому для решения задачи достаточно доказать, что точка O является основанием высоты из точки A в треугольнике AB1C1.
и 
Поэтому 
и 
является отрезок прямой, то 
балла.Дан треугольник ABC с острым углом A такой, что 
На сторонах AB и AC вне треугольника построены квадраты ABDE и ACFG с центрами K и L. Оказалось, что точки D, E, F и G лежат на одной окружности ω с центром O. Найти угол A треугольника ABC.
и 
если точка O лежит вне квадрата ABDE и 
если точка O лежит внутри квадрата ABDE. Аналогично пусть ориентированная длина отрезка YO равна y, причём 
если точка O лежит вне квадрата ACFG и 
если точка O лежит внутри квадрата ACFG. Тогда 
и 
а также 
и 
тогда треугольники AKO и ALO подобны, поэтому 
то есть треугольники AKO и ALO не подобны, а равны. Следовательно, 
и 
поэтому четырёхугольник AKOL — параллелограмм, откуда прямые AL, OK, AE параллельны, и прямые AK, OL и AG так же параллельны. Это означает, что точки G, A, K, D лежат на одной прямой, а также точки E, A, L, F лежат на одной прямой. Поэтому AD и AC перпендикулярны и, значит, 
Дан треугольник ABC с острым углом A такой, что 
На сторонах AB и AC вне треугольника построены квадраты ABDE и ACFG с центрами K и L. Оказалось, что точки D, E, F и G лежат на одной окружности ω с центром O. Доказать, что точка M пересечения прямых BE и CG лежит на окружности ω.
и 
а также 
и 
тогда треугольники AKO и ALO подобны, поэтому 
то есть треугольники AKO и ALO не подобны, а равны. Следовательно, 
и 
тогда 
Треугольник EOG равнобедренный с углами при основании, равными 
тогда угол при вершине равен 
Но так как угол 
опирается на дугу 
то точка M лежит на окружности ω с центром в точке O, что требовалось доказать.
где r — радиус вписанной сферы, то есть 
где 
что противоречит неравенству 
Итак, все S1 равны, поэтому все hi тоже равны, так как 
Обозначим за h длину этих равных высот. Из приведённого выше соотношения для объёма получаем 
то есть неравенство 
обращается в равенство. Но это возможно только в случае, если высота содержит центр сферы и точку касания с гранью (и так для каждой высоты).
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABH получаем:
Для охраны нефтяной платформы, расположенной в море, необходимо распределить вокруг нее 5 радаров, покрытие каждого из которых составляет круг радиуса r = 13 км. Определить, на каком максимальном расстоянии от центра платформы их нужно расположить, чтобы обеспечить вокруг платформы покрытие радарами кольца шириной 10 км. Вычислить площадь этого кольца покрытия.
Отрезок OD равен: 
Найдём радиусы:
Окружность радиуса 15 касается двух смежных сторон AB и AD квадрата ABCD. На двух других сторонах окружность точками пересечения отсекает от вершин отрезки 6 и 3 см соответственно. Найти длину отрезка, который окружность отсекает от вершины B точкой касания.
Окружность касается двух смежных сторон AB и AD квадрата ABCD и отсекает от вершин B и D точкой касания отрезок длиной 4 см. На двух других сторонах окружность точками пересечения отсекает от вершин отрезки 2 и 1 см соответственно. Найти радиус окружности.
Десять шаров одинакового радиуса сложены в виде треугольной пирамиды так, что каждый шар касается как минимум трех других. Найти радиус сферы, в которую вписана пирамида из шаров, если радиус шара вписанного в центр пирамиды из шаров, касающегося шести одинаковых шаров равен 
и 
Десять шаров одинакового радиуса сложены в виде треугольной пирамиды так, что каждый шар касается как минимум трех других. Найти радиус шара вписанного в центр пирамиды из шаров, касающегося шести одинаковых шаров, если радиус сферы, в которую вписана пирамида из шаров равен 
проходящей на расстоянии 
что меньше 12, от центра сферы (см. рис.).
и равна длине изготавливаемого троса.
Из вершины B на сторону AD опустили высоту BH. Найдите длину отрезка HD.
Можно заметить, что 
Это означает, что ABC — прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными 13.
Кроме того, прямые MK и CD параллельны между собой и перпендикулярны основанию AD, так что HK = MT. Получаем
Даны две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2, радиусы которых 1 и 
соответственно. Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B, причем расстояние между центрами O1 и O2 равно 2. Найти длину хорды AC окружности ω2, середина которой лежит на окружности ω1. В ответ запишите квадрат длины хорды AC.
в точке E, получим AE — диаметр ω1, так как угол ADE равен 90°.
далее, треугольник DCO2 прямоугольный, следовательно, 
то получим уравнение 
Астрономы обнаружили за планетой Сатурн новое небесное тело, движущееся по круговой орбите, для изучения которого был направлен научно-исследовательский зонд — автономный робот, оснащенный ракетными двигателями, собственной энергетической установкой, системами радиосвязи и навигации, научными приборами, фото- и видеотехникой. И все это управляется бортовыми компьютерами. Для изучения найденного объекта было принято решение произвести фотосъемку в двух точках его орбиты. После съемок в первой точке, потребовалось скорректировать скорость движения зонда, чтобы иметь возможность сделать еще один фотоснимок небесного тела в другой точке его орбиты.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Считаем изучаемый объект (небесное тело) и исследовательский зонд материальными точками, небесное тело движется по круговой орбите с центром в точке O и радиусом 
с постоянной угловой скоростью 
Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна 
а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках P и K. Согласно заложенной программе, съемка небесного тела зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой тела (точки P и K). Когда небесное тело (точка T) оказывается строго на прямой между точкой O и подзондовой точкой (точка Z), запускается таймер (t0 = 0). В точке Р небесное тело и подзондовая точка находятся в одно и тоже время, и осуществляется съемка, после чего скорость зонда меняется так, чтобы над точкой K вновь оказаться одновременно с телом для его повторного фотографирования. Скорость подзондовой точки на участке PK постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и изучаемым телом в начальный момент времени t0, а также скорость подзондовой точки V2 на участке PK, если центральный угол POK равен углу PZO и в полтора раза меньше центрального угла POT. В расчетах используйте приближенное значение числа π — округлите его до целого значения.
угол РОТ равен 
тогда 
откуда
Найдем PK с помощью теоремы косинусов: 
