Всего: 874 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
или 
Следовательно, искомые числа равны 7 и 11. Два квадрата, стороны которых относятся как 3 : 4, наложены друг на друга так, что их общая часть также образует квадрат. Длины сторон всех трех квадратов являются натуральными числами, а площадь закрашенной фигуры равна 525. Найдите стороны всех квадратов.
На доске написано:
Боря и Гоша по очереди заменяют звездочки знаками + или − (по одной звездочке за один ход). После восьми ходов вычисляется значение полученного выражения. Докажите, что Гоша может ходить так, что эта сумма будет делиться на 13, если он ходит вторым.
Стратегия Гоши может быть следующей. Все числа делим на пары: 
не превосходит 10.
Это неравенство верно для всех натуральных чисел m и n. Чтобы каждый из корней уравнения не превосходил 10 достаточно, чтобы больший корень не превосходил 10. Таким образом, достаточно найти количество пар натуральных чисел, таких что 
получаем 
У Бори и Гоши есть шахматная доска размером 10 × 10 и по набору из одинакового числа плиток. У Бори все плитки имеют размеры 1 × 3, а у Гоши некоторые плитки размеров 1 × 3, а остальные — 1 × 4. Ребята выкладывают свои плитки так, чтобы они не выступали за края доски, чтобы края плиток проходили по линиям клеток и чтобы никакие две плитки не касались друг друга (даже углами). Боре удалось выложить все свои плитки указанным способом. Докажите, что, убрав плитки Бори, Гоша тоже сможет уложить свои плитки, не нарушив правила.
В школе любые два ребёнка либо дружат друг с другом, либо нет. Назовём ребёнка общительным, если он дружит хотя бы с тремя другими детьми. Известно, что в школе есть n общительных детей, а также ровно 11 детей, у которых всего один друг. При каком наименьшем n заведомо найдётся несколько детей, которых можно посадить за круглый стол так, чтобы каждый знал обоих своих соседей?
то сумма степеней вершин не меньше чем 
а тогда ребер хотя бы N, из чего следует, что найдется цикл, а значит при n = 10 заведомо найдётся несколько детей, которых можно посадить за круглый стол так, чтобы каждый знал обоих своих соседей (очевидно, что друзья знают друг друга). 
Тогда 
для всех 
то 
для всех 
и 
Два квадрата, стороны которых относятся как 3 : 4, наложены друг на друга так, что их общая часть также образует квадрат. Длины сторон всех трех квадратов являются натуральными числами, а площадь закрашенной фигуры равна 800. Найдите стороны всех квадратов.
На доске написано:
Боря и Гоша по очереди заменяют звездочки знаками + или − (по одной звездочке за один ход). После восьми ходов вычисляется значение полученного выражения. Докажите, что Гоша может ходить так, что эта сумма будет делиться на 10, если он ходит вторым.
Стратегия Гоши может быть следующей. Все числа делим на пары: 
получаем 
У Бори и Гоши есть шахматная доска размером 10 × 10 и по набору из одинакового числа плиток. У Бори все плитки имеют размеры 1 × 3, а у Гоши некоторые плитки размеров 1 × 3, а остальные — 1 × 4. Ребята выкладывают свои плитки так, чтобы они не выступали за края доски, чтобы края плиток проходили по линиям клеток и чтобы никакие две плитки не касались друг друга (даже углами). Боре удалось выложить все свои плитки указанным способом. Докажите, что, убрав плитки Бори, Гоша тоже сможет уложить свои плитки, не нарушив правила.
В школе любые два ребёнка либо дружат друг с другом, либо нет. Назовём ребёнка общительным, если он дружит хотя бы с тремя другими детьми. Известно, что в школе есть n общительных детей, а также ровно 10 детей, у которых всего один друг. При каком наименьшем n заведомо найдётся несколько детей, которых можно посадить за круглый стол так, чтобы каждый знал обоих своих соседей?
то сумма степеней вершин не меньше чем 
то 
и 
Вычислите косинусы этих углов.
неравенства 
и 
равносильны; этот факт, являющийся следствием монотонности функции, мы для краткости будем называть 
и 
откуда 
Косинус каждого из этих углов равен 
—
имеем 
Таблица 4 × 4, составленная из 16 чисел, такова, что каждое число равно в ней сумме всех своих соседей по горизонтали и по вертикали. Каким наибольшим может быть количество положительных чисел в таблице?
или 
или 
Значит, в левой половине таблицы не более 6 положительных чисел. Ясно, что такое утверждение верно и для правой половины, а всего в таблице не более 12 положительных чисел.
пересекает ось Ox в двух точках. Через них проведена окружность, касающаяся оси Oy. Найдите ординату точки касания.
тогда квадратное уравнение 
должно иметь два положительных корня, что равносильно системе неравенств
По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки 
откуда 
где t1 и t2 корни уравнения 
По теореме Виета 
следовательно, 
То есть, что существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи. 
По дороге из A в B ездят только легковые машины, грузовики и автобусы. Легковые машины выезжают из A в B каждые 2 минуты со скоростью 120 км/ч, грузовики каждые 3 минуты со скоростью 80 км/ч, а автобусы каждые 6 минут со скоростью 60 км/ч. Скорости всех машин постоянны, а расстояние между A и B достаточно большое. Мотоцикл едет из B в A со скоростью 60 км/ч. Какую долю среди встречного транспорта составляют грузовики?
позади легкового автомобиля, выехавшего перед ним, каждый грузовик — в 
позади грузовика, выехавшего перед ним, а каждый автобус в 
позади автобуса, выехавшего перед ним. Едущий из B в A пассажир сближается со скоростями 60 + 120 = 180 км/ч, 60 + 80 = 140 км/ч и 60 + 60 = 120 км/ч с каждым встречным легковым автомобилем, грузовиком и автобусом соответственно. Поэтому в течение часа он встретит 
легковых автомобилей, 
грузовиков и 
автобусов, доля грузовиков среди встречного транспорта, таким образом, равна 