У Бори и Гоши есть шахматная доска размером 10 × 10 и по набору из одинакового числа плиток. У Бори все плитки имеют размеры 1 × 3, а у Гоши некоторые плитки размеров 1 × 3, а остальные — 1 × 4. Ребята выкладывают свои плитки так, чтобы они не выступали за края доски, чтобы края плиток проходили по линиям клеток и чтобы никакие две плитки не касались друг друга (даже углами). Боре удалось выложить все свои плитки указанным способом. Докажите, что, убрав плитки Бори, Гоша тоже сможет уложить свои плитки, не нарушив правила.
Наибольшее число плиток 1 × 3 или 1 × 4, которые можно уложить по правилам равно 12, что следует из такой раскраски слева на рисунке.
При любой укладке плиток 1 × 3 или 1 × 4 каждая закроет собой одну или две белые клетки. Укладка будет удовлетворять условию когда (и только когда) никакие две плитки не закрывают разные клетки в одном белом квадрате 2 × 2. Таким образом, плиток не более, чем белых квадратов, а их 12.
Двенадцать плиток уложить можно. На рисунке справа пример раскладки для плиток 1 × 4, убрав из каждой плитки один квадратик получаем пример раскладки для плиток 1 × 3.
Ответ: 12.