РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 8999 Добавить в вариант

На доске написано:

$* 1 * 8 * 64 * 8 в кубе * 8 в степени 4 * 8 в степени 5 * 8 в степени 6 * 8 в степени 7 .$

Боря и Гоша по очереди заменяют звездочки знаками + или − (по одной звездочке за один ход). После восьми ходов вычисляется значение полученного выражения. Докажите, что Гоша может ходить так, что эта сумма будет делиться на 13, если он ходит вторым.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $1 плюс 64=65=5 умножить на 13.$ Стратегия Гоши может быть следующей. Все числа делим на пары:

$левая круглая скобка 1; 64 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 8; 8 в кубе правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 8 в степени 4 ; 8 в степени 6 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 8 в степени 5 ; 8 в степени 7 правая круглая скобка .$

После хода Бори Гоша выбирает число, которое является парным для выбранного Борей числа, и ставит перед ним тот же знак, который Боря поставил перед своим числом.

B итоге получится следующее выражение:

$\pm левая круглая скобка 1 плюс 64 правая круглая скобка \pm левая круглая скобка 8 плюс 8 в кубе правая круглая скобка \pm левая круглая скобка 8 в степени 4 плюс 8 в степени 6 правая круглая скобка \pm левая круглая скобка 8 в степени 5 плюс 8 в степени 7 правая круглая скобка =13 умножить на 5 умножить на левая круглая скобка \pm 1 \pm 8 \pm 8 в степени 4 \pm 8 в степени 5 правая круглая скобка ,$

где вместо ± стоит один из знаков «плюс» или «минус» (необязательно одинаковые).

Представленная стратегия позволяет Гоше сделать так, чтобы полученная сумма будет делиться на 13.

Аналоги к заданию № 8999: 9007 Все

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости, Алгебра. Суммы и произведения, Разное. Игры и стратегии

Спрятать решение · Помощь