РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 8998 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное число n, для которого десятичная запись числа n! оканчивается 500 нулями:

$n !=1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на \ldots умножить на левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка умножить на n.$

Спрятать решение

Решение.

Произведение двух чисел дает на конце ноль, если в состав их множителей входит 5 и 2. Чтобы узнать, сколько нулей будет на конце у M! нужно разделить число M на степени числа 5.

У 125! будет в конце

$125: 5 плюс 125: 25 плюс 125: 125=25 плюс 5 плюс 1=31 ноль.$

У 625! будет в конце

$625: 5 плюс 625: 25 плюс 625: 125 плюс 625: 625 \equiv 125 плюс 25 плюс 5 плюс 1=156 нулей.$ $625: 5 плюс 625: 25 плюс 625: 125 плюс$
$плюс 625: 625 \equiv 125 плюс 25 плюс 5 плюс 1=156 нулей.$

Таким образом, число 2005! будет содержать на конце:

$2005: 5 плюс левая квадратная скобка 2005: 25 правая квадратная скобка плюс левая квадратная скобка 2005: 125 правая квадратная скобка плюс левая квадратная скобка 2005: 625 правая квадратная скобка =401 плюс 80 плюс 16 плюс 3=500 нулей,$ $2005: 5 плюс левая квадратная скобка 2005: 25 правая квадратная скобка плюс левая квадратная скобка 2005: 125 правая квадратная скобка плюс левая квадратная скобка 2005: 625 правая квадратная скобка =$
$=401 плюс 80 плюс 16 плюс 3=500 нулей,$

в то время как число 2004! заканчивается на 499 нулей. 3десь [x]  — целая часть числа x.

Ответ: 2005.

Аналоги к заданию № 8998: 9006 Все

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Классификатор: Алгебра: числа. Произведения и факториалы

Спрятать решение · Помощь