РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 9026 Добавить в вариант

Пусть α, β, γ  — такие острые углы, что $косинус альфа = тангенс бета ,$ $косинус бета = тангенс гамма ,$ $косинус гамма = тангенс альфа .$ Вычислите синусы этих углов.

Спрятать решение

Решение.

На интервале $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ неравенства $косинус x больше или равно косинус y$ и $тангенс x меньше или равно тангенс y$ равносильны; этот факт, являющийся следствием монотонности функции, мы для краткости будем называть M-свойством.

Пусть, для определённости, $\max левая фигурная скобка косинус альфа , косинус бета , косинус гамма правая фигурная скобка = косинус альфа .$ По M-свойству тогда

$тангенс альфа =\min левая фигурная скобка тангенс альфа , тангенс бета , тангенс гамма правая фигурная скобка .$

Применив здесь условие задачи получим, что

$\min левая фигурная скобка косинус альфа , косинус бета , косинус гамма правая фигурная скобка = косинус гамма .$

Еще раз воспользовавшись M-свойством будем иметь равенство

$тангенс гамма =\max левая фигурная скобка тангенс альфа , тангенс бета , тангенс гамма правая фигурная скобка ,$

согласно условию означающее, что

$\max левая фигурная скобка косинус альфа , косинус бета , косинус гамма правая фигурная скобка = косинус бета .$

Следовательно, $косинус альфа =$ $косинус бета$ и $тангенс бета = тангенс гамма ,$ откуда $альфа = бета = гамма .$ Синус каждого из этих углов равен $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$   — положительному корню уравнения $t=1 минус t в квадрате .$

Поскольку, например, в силу равенства $косинус альфа = тангенс альфа$ имеем

$синус альфа = косинус альфа тангенс альфа = косинус в квадрате альфа =1 минус синус в квадрате альфа .$

Ответ: $синус альфа = синус бета = синус гамма = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Содержание критерия	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	10
Установлено равенство углов, но косинусы не найдены	−/+	4
Равенство углов не доказано, но на его основе найдены косинусы	−/.	2

Аналоги к заданию № 9012: 9026 Все

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь