РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 9012 Добавить в вариант

Пусть α, β, γ  — такие острые углы, что $синус альфа =\ctg бета ,$ $синус бета =\ctg гамма ,$ $синус гамма =\ctg альфа .$ Вычислите косинусы этих углов.

Спрятать решение

Решение.

На интервале $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ неравенства $синус x больше или равно синус y$ и $\ctg x меньше или равно \ctg y$ равносильны; этот факт, являющийся следствием монотонности функции, мы для краткости будем называть M-свойством.

Пусть, для определённости,

$\max левая фигурная скобка синус альфа , синус бета , синус гамма правая фигурная скобка = синус альфа .$

По M-свойству тогда

$\ctg альфа =\min левая фигурная скобка \ctg альфа , \ctg бета , \ctg гамма правая фигурная скобка .$

Применив здесь условие задачи получим, что

$\min левая фигурная скобка синус альфа , синус бета , синус гамма правая фигурная скобка = синус гамма .$

Еще раз воспользовавшись M-свойством будем иметь равенство

$\ctg гамма =\max левая фигурная скобка \ctg альфа , \ctg бета , \ctg гамма правая фигурная скобка$

согласно условию означающее, что

$\max левая фигурная скобка синус альфа , синус бета , синус гамма правая фигурная скобка = синус бета .$

Следовательно, $синус альфа = синус бета$ и $\ctg бета =\ctg гамма ,$ откуда $альфа = бета = гамма .$ Косинус каждого из этих углов равен $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$   — положительному корню уравнения $t=1 минус t в квадрате .$

Поскольку, например, в силу равенства $синус альфа =\ctg альфа$ имеем

$косинус альфа = синус альфа \ctg альфа = синус в квадрате альфа =1 минус косинус в квадрате альфа .$

Ответ: $косинус альфа = косинус бета = косинус гамма = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Содержание критерия	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	10
Установлено равенство углов, но косинусы не найдены	−/+	4
Равенство углов не доказано, но на его основе найдены косинусы	−/.	2

Аналоги к заданию № 9012: 9026 Все

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Задачи о тригонометрических функциях

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь