сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да. Сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6, длина бо­ко­во­го ребра равна 5. Сфера Q1 впи­са­на в пи­ра­ми­ду. Сфера Q2 ка­са­ет­ся Q1 и всех бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды. Най­ди­те ра­ди­ус сферы Q2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим через r1 и r2 со­от­вет­ствен­но ра­ди­у­сы сфер Q1 и Q2. Пусть ABCD  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, M  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды, E  — центр ос­но­ва­ния, F  — се­ре­ди­на CD. С по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём апо­фе­му бо­ко­вой грани MF и вы­со­ту пи­ра­ми­ды h_1=M E:

M F= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: M C в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус F C в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =4 ; h= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: M F в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус E F в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Те­перь вы­чис­лим объём пи­ра­ми­ды V и её пол­ную по­верх­ность S:

V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_A B C D умно­жить на h_1=12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та ; S=S_A B C D плюс 4 S_M C D=36 плюс 4 умно­жить на 12=84.

По из­вест­ной фор­му­ле опре­де­лим ра­ди­ус впи­сан­ной сферы:

r_1= дробь: чис­ли­тель: 3 V, зна­ме­на­тель: S конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 36 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 84 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Про­ведём ка­са­тель­ную плос­кость к сфере Q1, па­рал­лель­ную ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Она отсечёт от неё пи­ра­ми­ду T=A_1 B_1 C_1 D_1 M. Оче­вид­но, сфера Q2 впи­са­на в эту пи­ра­ми­ду. Легко найти вы­со­ту отсечённой пи­ра­ми­ды:

h_2=h_1 минус 2 r_1= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Пи­ра­ми­да T по­доб­на ис­ход­ной с ко­эф­фи­ци­ен­том

k= дробь: чис­ли­тель: h_2, зна­ме­на­тель: h_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

В таком же от­но­ше­нии на­хо­дят­ся и ра­ди­у­сы их впи­сан­ных сфер. По­это­му

r_2=k r_1= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 49 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 49 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За пол­ное ре­ше­ние 12 бал­лов. Если най­ден толь­ко ра­ди­ус 1-й сферы, 4 балла.


Аналоги к заданию № 5620: 5628 Все

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024