сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

К двум внеш­не ка­са­ю­щим­ся окруж­но­стям ра­ди­у­сом R и r по­стро­е­на се­ку­щая так, что окруж­но­сти от­се­ка­ют на ней три рав­ных от­рез­ка. Най­ди­те длины этих от­рез­ков.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть ис­ко­мая длина равна 2x. Тогда A B=4 x, от­ку­да A O_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка и B O_2= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка . Про­ве­дем пря­мую O2C па­рал­лель­ную от­рез­ку AB. В тре­уголь­ни­ке O1O2C:

O_1 C= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: O_1 конец ар­гу­мен­та O_2 в квад­ра­те минус O_2 C в квад­ра­те \Rightarrow ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 16 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

Умно­жив обе части ра­вен­ства (3) на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­ча­ем

R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 16 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка \Rightarrow ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 16 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби . \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

Скла­ды­вая (3) с (2), по­лу­ча­ем

2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 16 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 16 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \Rightarrow
\Rightarrow дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 16 x в квад­ра­те плюс R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка r плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 16 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка R в квад­ра­те плюс R r минус 8 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус 16 x в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка R левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка R=r пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус 16 x в квад­ра­те конец дроби \Rightarrow
\Rightarrow ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 16 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =R левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8 x в квад­ра­те \Rightarrow левая круг­лая скоб­ка R в квад­ра­те минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 16 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка R левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те \Rightarrow
\Rightarrow R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 16 R в квад­ра­те x в квад­ра­те минус x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 16 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 16 R левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 64 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Так как x не равно q 0, то при­хо­дим к урав­не­нию 48 x в квад­ра­те =14 R r минус R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те , от­ку­да

x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 14 R r минус R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ис­ко­мая же длина со­став­ля­ет

2 x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 14 R r минус R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 14 R r минус R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024