1.  Ве­ли­чи­на угла АIC равна

Если бы луч IО лежал бы вне угла АIC, ве­ли­чи­на угла AIO рав­ня­лась бы сумме ве­ли­чин АIC и СIO и была бы боль­ше 90 гра­ду­сов, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Сле­до­ва­тель­но, луч IO лежит внут­ри угла АIC, по­это­му ве­ли­чи­на угла АIC равна сумме ве­ли­чин углов AIO и СIO, то есть 135 гра­ду­сам. Зна­чит, угол ABC  — пря­мой и тре­уголь­ник ABC яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным с ги­по­те­ну­зой AC, а точка О се­ре­ди­на сто­ро­ны AC.

2.  Обо­зна­чим точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы AI со сто­ро­ной ВС за К. Углы СІО и СІК равны 45, сле­до­ва­тель­но, пря­мые IO и IK сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но бис­сек­три­сы СI, то же самое верно и для пря­мых CA и CB. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки CIO и CIK равны и точки O и K сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но CI, а тре­уголь­ник OIK  — пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный.

3.  Про­длим от­ре­зок ОI до пе­ре­се­че­ния со сто­ро­ной AB в точке L, сим­мет­рич­ной О от­но­си­тель­но бис­сек­три­сы АI. Обо­зна­чим за M се­ре­ди­ну от­рез­ка AI, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Фа­ле­са, от­рез­ки ОM и CI па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, угол IOM равен углу ОIC, то есть 45 гра­ду­сам. Зна­чит, тре­уголь­ник ОIM  — пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный и равен тре­уголь­ни­кам OIK и KIL. От­сю­да сле­ду­ет, что точки I и М делят от­ре­зок АK на три оди­на­ко­вых части.

4.  Опу­стим из точки I пер­пен­ди­ку­ля­ры IP и IQ на сто­ро­ны BC и AB со­от­вет­ствен­но, точки P и Q яв­ля­ют­ся точ­ка­ми ка­са­ния этих сто­рон со впи­сан­ной окруж­но­стью, четырёхуголь­ник РIQB яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Углы KIL и PIQ пря­мые, зна­чит, углы PIK и QIL равны, от­сю­да сле­ду­ет ра­вен­ство пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков PIK и QIL. По тео­ре­ме Фа­ле­са длина равна по­ло­ви­не длины а длина AQ вдвое боль­ше длины Сле­до­ва­тель­но, длина сто­ро­ны AB равна

Из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 3 : 4 : 5.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пункт 1, точки M, Р и Q те же, что как в пер­вом ре­ше­нии, четырёхуголь­ник РIQB яв­ля­ет­ся квад­ра­том. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AIO катет AI вдвое боль­ше ка­те­та OI. Счи­та­ем длину OI рав­ной еди­ни­це, тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка AIO равна 1, длина ги­по­те­ну­зы AO равна a вы­со­та из вер­ши­ны I равна Эта вы­со­та и от­рез­ки IP и IQ равны, как ра­ди­у­сы впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му

Сле­до­ва­тель­но,

и

Из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра от­ку­да