В равнобедренном треугольнике ABC на высоте BH, равной основанию AC, как на диаметре, построена окружность, пересекающая боковую сторону BC в точке F. Каково отношение площади треугольника FCH к площади треугольника ABC? Какая часть площади треугольника ABC находится внутри окружности?
Введем обозначения: 
и 
Поскольку угол BFH — прямой, то по теореме об соотношениях в прямоугольном треугольнике для двух катетов BH, HC будем иметь:
Из отношения площадей треугольников с общим углом находим ответ на первый вопрос:
По теореме Пифагора для треугольника BHC найдем x:
Пусть O — центр окружности описанной вокруг треугольника BHF. Обозначим 
Тогда по теореме косинусов для треугольника BOF:
Обозначим площадь сектора HOF через S1. Тогда
Внутри окружности у треугольника два таких сектора. Кроме того, внутри окружности два треугольника одинаковой площади. Найдем площадь S2 треугольника BOF:
Тогда ответ на второй вопрос будет следующий:
Ответ: 
