РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6296 Добавить в вариант

Стороны прямоугольного треугольника выражаются натуральными числами, при этом гипотенуза на 1 длиннее одного из катетов. Может ли длина какого-то катета данного треугольника быть равна: а) 2019; б) 2018; в) 2112?

Спрятать решение

Решение.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны x и y, а гипотенуза равна $x плюс 1.$ По теореме Пифагора

$левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =x в квадрате плюс y в квадрате равносильно 2 x плюс 1=y в квадрате ,$

откуда y  — нечетное число, а $2 x плюс 1$   — полный квадрат. Допустим:

а)  если катет равен 2019. Заметим, что x не может равняться 2019, так как $2 умножить на 2019 плюс 1=4039$ не является полным квадратом. Если $y=2019,$ то

$x= дробь: числитель: 2019 в квадрате минус 1, знаменатель: 2 конец дроби принадлежит N .$

Следовательно, один из катетов может равняться 2019;

6)  если катет равен 2018. Заметим, что x не может равняться 2018, так как $2 умножить на 2018 плюс 1=4037$ не является полным квадратом. Но и y не может равняться 2018 , так как y обязательно нечетное;

в)  если катет равен 2112. Заметим, что y не может равняться 2112, так как y обязательно нечетное. Если $x=2112,$ то

$y в квадрате =2 умножить на 2112 плюс 1=4225,$

откуда $y=65.$ Следовательно, один из катетов может равняться 2112.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра. Текстовые задачи на целые числа, Геометрия: планиметрия. Треугольник прямоугольный, Методы геометрии. Теорема Пифагора

Спрятать решение · Помощь