Три конуса с вершиной A и образующей 
касаются друг друга внешним образом. У двух конусов угол между образующей и осью симметрии равен 
а у третьего он равен 
Найдите объем пирамиды O1O2O3A, где O1, O2, O3 — центры оснований конусов.
Пусть
и 
где B — середина отрезка O1O2, AD — общая образующая второго и третьего конусов. Тогда
Четырехугольник AO2DO3 вписан в окружность с диаметром AD, откуда по теореме синусов
Аналогичным образом
Опустим перпендикуляр BC на прямую AO3. Заметим, что отрезки AB и O3B перпендикулярны O1O2 как медианы равнобедренных треугольников O1O2A и O1O2O3. Тогда отрезок O1O2 перпендикулярен плоскости ABO3 и, значит, прямой AO3. Поэтому ребро AO3 перпендикулярно плоскости O1O2C и, в частности, отрезку CO2. Поэтому
По теореме Пифагора мы получаем
Пусть V — объем пирамиды O1O2O3A, AH — ее высота. Тогда
Ответ: 