Как из­вест­но, центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се угла. Пусть C  — вер­ши­на угла, O₁  — центр пер­вой окруж­но­сти.

Си­ту­а­ция один: центр вто­рой окруж­но­сти O₂ лежит за пре­де­ла­ми от­рез­ка CO₁ (см. рис. свер­ху). Пусть F  — точка ка­са­ния пер­вой окруж­но­сти (с цен­тром O₁) с одной из сто­рон угла, а G  — точка ка­са­ния вто­рой окруж­но­сти (с цен­тром O₂) с той же сто­ро­ны угла, P  — точка ка­са­ния этих окруж­но­стей. Т. к. ис­ко­мый угол равен 60°, то углы O₁CF и O₂CG равны 30°. Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₁CF: а CP  =  3. Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром O₂ равен R. Тогда Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с углом 30° O₂CG по­лу­ча­ем: CO₂  =  2 · O₂G, т. е. 3 + R  =  2 · R, от­ку­да R  =  3. Найдём от­ре­зок FG. Для этого про­ведём через центр пер­вой окруж­но­сти O₁ пер­пен­ди­ку­ляр O₁M на ра­ди­ус O₂G. Тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке O₁MO₂:

Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Те­перь через центр ис­ко­мой тре­тьей окруж­но­сти O₃ про­ведём пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой FG.

Пусть эта пря­мая пе­ре­се­ка­ет ра­ди­ус O₁F в точке K, а ра­ди­ус O₂G в точке N. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник O₁KO₃. Обо­зна­чим ра­ди­ус ис­ко­мой окруж­но­сти r. Тогда O₁O₃  =  r + 1 и O₁K  =  1 − r. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

А те­перь из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₃NO₂ имеем:

Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Так как FG  =  KN  =  KO₃ + O₃N, то от­ку­да:

Дру­гой спо­соб за­пи­си пра­виль­но­го от­ве­та:

Си­ту­а­ция два: центр вто­рой окруж­но­сти O₂ лежит на от­рез­ке CO₁ (см. рис. снизу). В этом слу­чае по­лу­чит­ся кар­тин­ка, по­доб­ная той, что была в си­ту­а­ции один (см. рис. свер­ху), но те­перь боль­шей будет пер­вая окруж­ность (с цен­тром O₁). Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия кар­ти­нок равен по­это­му легко рас­счи­тать все эле­мен­ты чер­те­жа, вклю­чая ответ. Так, R  =  3, от­ре­зок FG и ис­ко­мый ра­ди­ус равны:

Дру­гой спо­соб за­пи­си от­ве­та:

Ответ: или