На столе лежат шары радиусов 2, 2, 1, касаясь друг друга внешним образом. Вершина конуса находится посередине между точками касания одинаковых шаров со столом, а сам конус касается внешним образом всех шаров. Найдите угол при вершине конуса. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
Пусть O1, O2, O3 — центры шаров, A1, A2, A3 — точки касания шаров со столом, C — вершина конуса, 2α — угол при его вершине, 
и 
Из условия касания шаров 
и
Тогда
Кроме того, 
откуда 
Выберем на оси симметрии конуса точку K так, что ее проекция H на плоскость 
попадает на отрезок O1O2 (см. верхний рисунок). Образующие, по которым конус касается одинаковых шаров, лежат в плоскостях KCO1 и KCO2, откуда
Кроме того, 
Отметим несколько простых фактов.
1) Точка H — точка касания равных шаров. Действительно, треугольники KCO1 и K2O2 равны, откуда 
Так как отрезок KH перпендикулярен стороне O1O2, мы получим 
2) Плоскость KCH перпендикулярна O1O2. Действительно, треугольник O1CO2 равнобедренный, а H — середина O1O2, откуда отрезок CH перпендикулярен стороне O1O2. Очевидно также, что KH и O1O2 перпендикулярны.
3) Если KM — перпендикуляр, опущенный из точки K на CO1, то отрезок MH перпендикулярен стороне CO1. Это вытекает из обратной теоремы о трех перпендикулярах.
Пусть KM — перпендикуляр, опущенный из точки K на CO1. Из 1) и 2) вытекает, что прямая CH касается равных шаров, поэтому
Тогда в силу 3)
С другой стороны, в силу 1) и 2) плоскость HCK состоит из точек, равноудаленных от O1 и O2. Значит, HCK содержит точку O3. Тогда (см. нижний рисунок)
откуда
Ответ: 