Часть I. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры из точек A и D на пря­мую BC: пря­мая AN пер­пен­ди­ку­ляр­на DC, пря­мая DK пер­пен­ди­ку­ляр­на BC.

Нужно до­ка­зать, что

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABC и BCD:

1)  тре­уголь­ник ABC можно раз­бить на два тре­уголь­ни­ка: тре­уголь­ник AOB и тре­уголь­ник BOC;

2)  тре­уголь­ник BCD можно раз­бить на два тре­уголь­ни­ка: тре­уголь­ник COD и тре­уголь­ник BOC.

По свой­ствам пло­ща­дей:

сле­до­ва­тель­но, (ч. т. д.).

*Пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOB равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка COD по усло­вию.

Часть II. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOB.

1)  Имеем: (ч. I), пря­мую AN па­рал­лель­ную DK   — од­но­сто­рон­ние при се­ку­щей BC), сле­до­ва­тель­но, ANKD  — па­рал­ле­ло­грамм и пря­мо­уголь­ник, также зна­чит, пря­мая BC па­рал­лель­на AD, от­сю­да ABCD  — тра­пе­ция.

2)  Пусть тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из п/у тре­уголь­ни­ка ANB и тре­уголь­ни­ка DKC:

Так как при­рав­ня­ем пра­вые части:

Сле­до­ва­тель­но,

3)  Вы­чис­лим:

4)  Тре­уголь­ни­ки BOC и AOD по­доб­ны по двум углам как вер­ти­каль­ные и   — на­крест-ле­жа­щие при BC па­рал­лель­ной AD и се­ку­щей BD), сле­до­ва­тель­но

5)  Про­ве­дем пря­мую BH пер­пен­ди­ку­ляр­ную AC, тогда тре­уголь­ни­ки AOB и BOC имеют оди­на­ко­вую вы­со­ту BH, сле­до­ва­тель­но,

Пусть при тогда от­сю­да сле­до­ва­тель­но,

Итого,

Ответ: