РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4012 Добавить в вариант

Существует ли такая точка с целыми координатами на координатной плоскости, расстояние от которой до начала координат равно $корень из: начало аргумента: 2 умножить на 2017 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 умножить на 2018 в квадрате правая круглая скобка ?$

Спрятать решение

Решение.

Докажем, что для любого натурального n найдется точка с целыми координатами, расстояние от которой до начала координат равно $корень из: начало аргумента: 2 n в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка .$ Для этого преобразуем последнее выражение

$2 n в квадрате плюс 2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =2 n в квадрате плюс 2 n в квадрате плюс 4 n плюс 2= левая круглая скобка 4 n в квадрате плюс 4 n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1= левая круглая скобка 2 n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 в квадрате .$

Поэтому (по теореме Пифагора) условию задачи удовлетворяет точка с координатами $левая круглая скобка 2 n плюс 1; 1 правая круглая скобка .$

Ответ: существует.

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Задачи, где в условии координаты, Методы геометрии. Теорема Пифагора

Спрятать решение · Помощь