Пусть O₁, O₂ и O  — цен­тры сфер α, β и одной из n рав­ных сфер. AB  — от­ре­зок об­ра­зу­ю­щий ко­ну­са, ко­то­рой ка­са­ют­ся эти три сферы. Пусть ра­ди­ус сферы α равен 1, ра­ди­ус сферы равен x, а ра­ди­ус каж­дой из n рав­ных сфер равен y, рас­сто­я­ние от O до оси ко­ну­са O₁O₂ равно z. Вы­ра­зим сна­ча­ла y через x. Для этого про­ве­дем через O₁ и O пря­мые, па­рал­лель­ные AB, обо­зна­чим по­лу­чив­ши­е­ся точки пе­ре­се­че­ния K, M, P.

Не­труд­но найти

Из урав­не­ния или найдём

Для опре­де­ле­ния z вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка двумя спо­со­ба­ми (один раз по фор­му­ле Ге­ро­на):

Таким об­ра­зом, с учётом най­ден­но­го зна­че­ния y будем иметь

Так как при по­лу­ча­ем то По­сколь­ку

то n может при­ни­мать зна­че­ния 7, 8, 9.

Ответ: 7, 8, 9.