Всего: 77 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–77
Добавить в вариант
А не параллельных 
Найти периметр шестиугольника.
угол 
угол 
угол 
Пусть 
и 
Тогда 
периметр шестиугольника равен 12.
(нумерация совпадает с расположением точек на прямой). Рассмотри все части плоскости, которые образовывались до проведения новой прямой. Если часть содержит интервал 
то и частей станет 
прямой у нас будут образовываться параллельные прямые: 
— пересечет 
можно отметить (и обозначить) на плоскости точки 
так, чтобы n треугольников A1A2A3, 
Отметим вершины правильного 
-угольника
взаимно просты, то числа 
Таким образом, все вершины многоугольника будут пронумерованы. Несложно заметить, что все искомые треугольники — равнобедренные и равные между собой, поэтому они являются остроугольными.
Просуммируем по всем возможным фиксированным вершинам и получим 
В полученной сумме все равносторонние треугольники были посчитаны 3 раза. Всего равносторонних треугольников 2k. Следовательно, равнобедренных треугольников 
Противоречие доказывает наше утверждение.
б) 
вокруг центра 
вокруг центра 
Если некоторые три отрезка имеют одно направление, то некоторые 2 из них являются основаниями трапеции. В самом деле, если параллелограмм вписан в окружность, то он прямоугольник, причем его противоположные стороны стягивают одинаковое число сторон многоугольника (см. решение п. а)). Следовательно, если вершины каких-либо двух из трех отрезков данного направления лежат в вершинах такого прямоугольника, то концы любого из этих двух отрезков и третьего отрезка лежат в вершинах трапеции.
то среди отмеченных точек обязательно найдутся четыре, являющиеся вершинами трапеции. Оказывается, что это не так: например, при 
и 
имеем Доказать, что разность длин диагонали A1A4 и стороны A1A2 правильного десятиугольника A1A2A3 ... A10 равна радиусу его описанной окружности. Десятиугольник называется правильным, если все его углы равны между собой и все его стороны равны между собой.
—Имеются два выпуклых многоугольника, один из которых вложен в другой, стороны которых попарно параллельны и отстают друг от друга на 1. Докажите, что разность площадей этих многоугольников не меньше p + π где p — это периметр меньшего многоугольника.
В некотором выпуклом 2021-угольнике провели все диагонали. Оказалось, что если какие-то две диагонали пересекаются в некоторой точке, отличной от вершин многоугольника, то никакая другая диагональ не проходит через эту точку. Найти число точек пересечения диагоналей, отличных от вершин многоугольника.
В вершинах правильного n-угольника расставлены числа от 1 до n в некотором порядке. При этом расстояния между вершинами, в которых стоят последовательные числа, одинаковые. Такое же расстояние между вершинами, в которых стоят
минут.
дуг, то есть совершит t полных оборотов и вернется в вершину с числом 1. Таким образом, путь из вершины n в вершину 1 также занимает t минут. Заметим, что за время 
муравей переползает из вершины с числом 13 в вершину с числом 31. Получается, что через 18t минут муравей оказывается в соседней вершине. В частности, за это время он переползет из вершины с числом 54 в вершину с числом 13. За эти 18t минут муравей 18 раз переползет в вершину с следующим числом, т. е. в последовательности 
n, 1, 
и 
Вычислите площадь пятиугольника ABCDE.
и треугольник ACF равен треугольнику ACD. Значит, искомая площадь равна удвоенной площади треугольника ACF, которая, в свою очередь, равна 
так как основание CF и высота AB равны 1.В вершинах правильного n-угольника расставлены числа от 1 до n в некотором порядке. При этом расстояния между вершинами, в которых стоят последовательные числа, одинаковые. Такое же расстояние между вершинами, в которых стоят числа 1 и n. Оказалось, что вершина с числом 20 соседствует с вершинами, соответствующими числам 158 и 45. Найдите n.
муравей переползает из вершины с числом 20 в вершину с числом 45. Получается, что через 25t минут муравей оказывается в соседней вершине. В частности, за это время он переползет из вершины с числом 158 в вершину с числом 20. За эти 25t минут муравей 25 раз переползет в вершину с следующим числом, т. е. в последовательности 
или 
В правильном 1000-угольнике провели все диагонали. Какое наибольшее количество диагоналей можно выбрать так, чтобы среди любых трех из выбранных диагоналей по крайней мере две имели одинаковую длину?
Точки
и 
где
Следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность. Далее, по теоpeме синусов 
В равнобедренном треугольнике ABC на высоте BH, равной основанию AC, как на диаметре, построена окружность, пересекающая боковую сторону BC в точке F. Каково отношение площади треугольника FCH к площади треугольника ABC? Какая часть площади треугольника ABC находится внутри окружности?
и 
Поскольку угол BFH — прямой, то по теореме об соотношениях в прямоугольном треугольнике для двух катетов BH, HC будем иметь: 
Тогда по теореме косинусов для треугольника BOF: 
Перед уроком геометрии учительница выписала на доске значения всех углов (в градусах) некоторого выпуклого многоугольника. Однако, дежурные одно из выписанных чисел стерли. Когда начался урок, оказалось, что сумма оставшихся чисел равна 1703. Какое число стерли дежурные?
Значит, сумма всех углов многоугольника за вычетом одного лежит в интервале от 
до 
Тогда 
градусов.
Prove your answer!
equals to 0 .Let
Prove that in a convex K-sided polygon, in which all internal angles are equal, for any point inside this polygon, the sum of the distances from this point to all sides of the polygon is independent of the choice of the point.
Пусть
Докажите, что в выпуклом K-угольнике, в котором все внутренние углы равны, для любой точки внутри этого K-угольнике сумма расстояний от этой точки до всех сторон этого K-угольника не зависит от выбора точки.
Finally let us move the point along a height on distance Δ. It results in change of the sum of all heights 
